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Na figura 30-73a, a chave S permaneceu na posição A por um tempo suficiente para que a corrente no indutor de indutância L 1 = 5,00   m H e o resistor de resistência R 1 = 25,0   Ω se estabilizasse. Da mesma forma, na figura 30-73b, a chave S permaneceu na posição A por um tempo suficiente para que a corrente no indutor de indutância L 2 = 3,00   m H e o resistor de resistência R 2 = 30,0   Ω se estabilizasse. A razão ϕ 02 / ϕ 01 entre o fluzo magnético através de uma das espiras do indutor 1 é 1,50 . No instante t = 0 , as duas chaves são deslocadas para a posição B . Em que instante de tempo os fluxos magnéticos através de uma espira dos dois indutores são iguais?

Passo 1

Por conta do decaimento da corrente que acontece quando as chaves são deslocadas para a posição B , o fluxo magnético nos circuitos das figuras 30-73a e 30-73b decai de acordo com as equações

ϕ 1 = ϕ 10 e - t τ 1   e   ϕ 2 = ϕ 20 e - t τ 2

na qual as constantes de tempo são dadas por τ = L / R . Igualando os fluxo e explicitando o tempo, obtemos:

ϕ 10 e - t τ 1   = ϕ 20 e - t τ 2

ϕ 10 e R 1 t L 1 = ϕ 20 e R 2 t L 2

ϕ 20 ϕ 10 = e R 2 t L 2 e R 1 t L 1

ϕ 20 ϕ 10 = e R 2 t L 2 - R 1 t L 1

Passo 2

Vamos aplicar o logritmo natural nos dois membros da expressão:

ln ⁡ ϕ 20 ϕ 10 = ln ⁡ e R 2 t L 2 - R 1 t L 1

R 2 t L 2 - R 1 t L 1 = ln ⁡ ϕ 20 ϕ 10

t R 2 L 2 - R 1 L 1 = ln ⁡ ϕ 20 ϕ 10

t = ln ⁡ ϕ 20 ϕ 10 R 2 L 2 - R 1 L 1

Passo 3

Vamos agora aplicar os valores na expressão para encontrar o valor de t!

t = ln ⁡ ϕ 20 ϕ 10 R 2 L 2 - R 1 L 1 = ln ⁡ 1,50 30,0   Ω 0,0030   H - 25 , 0   Ω 0,00 5 0   H

t = 81,1   μ s

Resposta

O instante de tempo é igual a:

t = 81,1   μ s

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