Enunciado

Na figura abaixo, uma bola maciça de latão de massa 0,28 g rola suavemente ao longo do trilho quando é liberada a partir do repouso no trecho retilíneo. A parte circular do trilho tem um raio R = 14 c m e a bola tem um raio r ≪ R .

( a ) Quanto vale h se a bola está na iminência de perder contato com o trilho quando chegar ao ponto mais alto da parte curva do trilho?

Se a bola é liberada a uma altura h = 6 R , qual é

( b ) o módulo e

( c ) a orientação da componente horizontal da força que age sobre a bola no ponto Q ?

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem? Vamos praticar um pouco de mecânica rotacional?

O sistema é conservativo, ou seja, não tem forças que fazem o sistema dissipar energia, então podemos comparar a soma das energias em dois pontos. Vou comparar o ponto em qua a bolinha está na altura h , pois ali não tem energia cinética, apenas a potencial gravitacional. O segundo ponto é no alto do trilho circular, pois é ali que a bola pode se descolar dos trilhos.

Então a soma das energias de cada ponto tem que ser igual:

m g h = 1 2 I ω 2 + 1 2 m v 2 + m g 2 R

Mas aqui vai o pulo do gato de 90 % das questões de energia envolvendo rotações: a questão do deslizamento! Se não há deslizamento (como é nosso caso) a velocdade angular é ω = v / R . Daí conseguimos colocar toda energia cinética em termos da velocidade do centro de massa.

Ta, mas e aquele I ? É o momento de inércia de uma esfera maciça! I = 2 / 5 m r 2

Vamos substituir tudo?

m g h = 1 2 . 2 5 m r 2 v r 2 + 1 2 m v 2 + 2 m g R

Juntando os semelhantes e cortando as massas:

g h = 7 10 v 2 + 2 g R

Agora tu te pergunta da onde eu vou tirar a velocidade né? Bom, nesse instante, na iminência de descolar dos trilhos, é quando a força normal é zero, e a força centrípeta é igual ao peso do objeto. Sendo assim:

F c = P

m v 2 R = m g

v 2 = R . g

Pronto, agora é só substituir!

g h = 7 10 R g + 2 g R

Cortando g em todos os termos:

h = 7 10 R + 2 R = 0,7 . 0,14 + 2.0,14

h = 0,378   m

Passo 2

Agora o problema fornece uma altura inicial e pede o módulo da força resultante no ponto Q . Vou usar do mesmo princípio de conservação de energia, mas agora entre os pontos de altura inicial ( h = 6 R ) e o ponto Q :

m g 6 R = 1 2 . 2 5 m r 2 v r 2 + 1 2 m v 2 + m g R

6 m g R = 7 10 m v 2 + m g R

Podemos cortar as massas:

7 10 v 2 = 5 g R

v 2 = 5.10 . g R 7

v 2 = 9,8

Mas por que determinar a velocidade? Bom, lembra que a força horizontal que age na partícula é a força normal N e ela é igual à força centrípeta (que varia com a velocidade ao quadrado!)? Então:

N = F c = m v 2 R

Logo:

N = m 9,8 R

N = 0,28 × 10 - 3 9.8 0,14

N = 0,0196   N

Passo 3

Já quando a bola passa pelo ponto Q , a sua componente horizontal possui direção radial ao centro do loop.

Resposta

  1. 0,378   m  
  2. 0,0196   N
  3. Centro do Loop
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