Enunciado

A figura abaixo um cilindro maciço com 10 c m de raio e uma massa de 12 k g parte do repouso e rola para baixo uma distância L = 6 m , sem deslizar, em um telhado com uma inclinação θ = 30 ° .

( a ) Qual é a velocidade angular do ciclindro em relação ao eixo central ao deixar o telhado?

( b ) A borda do telhado está a uma altura H = 5 m . A que distância horizontal da borda do telhado o cilindro atinge o chão?

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem? Vamos praticar um pouco de dinâmica de rotação?

Para calcular a velocidade angular ω precisamos saber a aceleração angular α (e pra ela a celeração do centro de massa a ). Vamos começar com a aceleração do centro de massa:

a = - g sen ⁡ θ 1 + I c m m r 2

Tal que:

a = - 9,8   sen ⁡ 30 ° 1 + 1 2 m r 2 m r 2

a = - 9,8 × 0,5 1 + 1 2

a = - 3,2 7   m/s²

Agora a aceleração angular será dada como:

α = a r

α = 3,2 7 0,1

α = 32 , 7   rad/s²

Pronto! Agora podemos determinar a velocidade angular, sabendo que o cilindro partiu do repouso e percorreu Δ θ = L / r temos:

ω 2 = ω 0 2 + 2 α Δ θ

De modo que:

ω 2 = 0 + 2 32,7 . 6 0,1

ω = 6 3,0   rad/s

Passo 2

Sabendo a velocidade angular, podemos calcular a velocidade linear do centro de massa:

v = ω r

v = 6 3,0 × 0,1

v = 6 , 3   m/s

E a componente vertical v y vai ser:

v 0 y = - v . sen ⁡ 30 °

Enquanto que a componente horizontal vai ser:

v x = v . cos ⁡ 30 °

Primeiro vamos determinar o tempo de queda, assim poderemos calcular depois o alcance horizontal.

Da equação horária da posição de um movimento vertical temos:

y = y 0 + v o y . t - g t 2 2

A posição final é no chão, então y = 0 , daí substituindo os valores temos:

+ 4,9 t 2 + 3,13 t - 5 = 0

Pela fórmula de Bháskara (sim, ela voltou!) temos:

t = - 3,13 ± 3,13 2 - 4 × 4,9 × - 5 2 4,9

t = - 3,13 ± 10,03 9,8

Apenas a raiz positiva é válida, sendo assim:

t = 0,74   s

Passo 3

Agora podemos calcular o alcance!

Da fórnula da equação horária do momento na horizontal:

x = x 0 + v x . t

Como o tempo para o cilindro cair é o mesmo para ele se deslocar horizontalmente e como ele não tem aceleração na horizontal, ficou tranquilo de resolver: é só susbtituir

x = 0 + 6 , 3 cos ⁡ 30 ° . 0,74

x = 4,0   m

Resposta

  1. 63,0   rad/s  
  2. 4,0   m
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