Enunciado

Na figura abaixo, cada capacitor possui C =   4   μ F e V a b = + 28   V .Calcule (a) a carga de cada capacitor; (b) a diferença de potencial através de cada capacitor; (c) a diferença de potencial entre os pontos a e d.

Passo 1

Temos para associação de capacitores:

i ) C a p a c i t o r e s   e m   p a r a l e l o :

C e q = C 1 + C 2 + . . .

Q = Q 1 + Q 2 + . . .

V 1 = V 2 = V

i i ) C a p a c i t o r e s   e m   s é r i e :

1 C e q = 1 C 1 + 1 C 2 + . . .

Q 1 = Q 2 = Q

V = V 1 + V 2 + . . .

Passo 2

letra a)

Queremos a carga de cada capacitor.

Sabemos que capacitores em série tem a mesma carga, logo:

Q 1 = Q 2

Q 4 = Q

Além disso sabemos que o potencial de capacitores em paralelo é:

V 12 = V 3

E que a diferença de potencial total será:

V = V 3 + V 4

Passo 3

Pegando a relação dos potenciais

V = V 3 + V 4

E substituindo V 3 e V 4 pela fórmula com a capacitância, temos:

V = Q 3 C + Q 4 C

C V = Q 3 + Q 4

Vamos guardar essa equação!!!!

Passo 4

Sabemos também que a diferença de potencial total está relacionada com a capacitância equivalente.

C e q = Q V a b

Q = C e q V a b

E como já vimos Q 4 = Q :

Q 4 = C e q V a b

Precisamos então determinar C e q .

Passo 5

Os capacitores C 1 e C 2 estão em série, logo:

1 C 12 = 1 C 1 + 1 C 2

1 C 12 = 1 4 ⋅ 10 - 6 + 1 4 ⋅ 10 - 6

1 C 12 = 2 4 ⋅ 10 - 6

C 12 = 2 ⋅ 10 - 6   F

Passo 6

Os capacitores C 12 e C 3 estão em paralelo, logo:

C 123 = C 12 + C 3

C 123 = 2 ⋅ 10 - 6   + 4 ⋅ 10 - 6  

C 123 = 6 ⋅ 10 - 6   F

Passo 7

Os capacitores C 123 e C 4 estão em série, logo:

1 C e q = 1 C 123 + 1 C 4

1 C e q = 1 6 ⋅ 10 - 6 + 1 4 ⋅ 10 - 6

1 C e q = 5 12 ⋅ 10 - 6

C e q = 2,4 ⋅ 10 - 6   F

Passo 8

Podemos agora achar Q 4 :

Q 4 = C e q V a b

Q 4 = 2,4 ⋅ 10 - 6   ⋅ 28

Q 4 = 67,2 ⋅ 10 - 6     C

Passo 9

Podemos agora achar Q 3 :

C V = Q 3 + Q 4

Q 3 = C V - Q 4

Q 3 = 4 ⋅ 10 - 6   ⋅ 28 - 67,2 ⋅ 10 - 6  

Q 3 = 44,8 ⋅ 10 - 6   C

Passo 10

Precisamos achar agora Q 1 e Q 2 .

Eles estão em série, então Q 1 = Q 2 .

Além disso:

V 1 + V 2 = V 3

Se substituirmos as diferenças de potencial, teremos:

Q 1 C + Q 2 C = Q 3 C

Q 1 + Q 2 = Q 3

2 Q 1 = Q 3

Q 1 = 22,4 ⋅ 10 - 6   C

Logo:

Q 2 = 22,4 ⋅ 10 - 6   C

Passo 11

letra b)

Agora precisamos calcular todos os potenciais.

Como sabemos as cargas dos capacitores e as capacitâncias:

V = Q C

Passo 12

Para o capacitor 1:

V 1 = Q 1 C = 22,4 ⋅ 10 - 6   4 ⋅ 10 - 6  

V 1 = 5,6   V

Passo 13

Para o capacitor 2:

V 2 = Q 2 C = 22,4 ⋅ 10 - 6   4 ⋅ 10 - 6  

V 2 = 5,6   V

Passo 14

Para o capacitor 3:

V 3 = Q 3 C = 44,8 ⋅ 10 - 6   4 ⋅ 10 - 6  

V 3 = 11,2   V

Passo 15

Para o capacitor 4:

V 4 = Q 4 C = 67,2 ⋅ 10 - 6   4 ⋅ 10 - 6  

V 4 = 16,8   V

Passo 16

letra c)

Para acharmos o potencial entre os pontos a e d, precisamos achar a capacitância e a carga equivalente entre os capacitores 1, 2 e 3.

A capacitância equivalente, C 123 já foi calculada no passo 6:

C 123 = 6 ⋅ 10 - 6   F

Agora precisamos da carga equivalente, como C 1 e C 2 estão em série:

Q 12 = Q 1 = Q 2

E como C 12 está em paralelo com C 3 :

Q 123 = Q 3 + Q 12 = 22,4 ⋅ 10 - 6   + 44,8 ⋅ 10 - 6   = 67,2 ⋅ 10 - 6     C

Passo 17

Agora calculamos o potencial entre a e d:

V a d = Q 123 C 123 = 67,2 ⋅ 10 - 6     C 6 ⋅ 10 - 6   F

V a d = 11,2   V

Resposta

letra a) Q 1 = 22,4 ⋅ 10 - 6   C , Q 2 = 22,4 ⋅ 10 - 6   C , Q 3 = 44,8 ⋅ 10 - 6   C , Q 4 = 67,2 ⋅ 10 - 6     C

letra b) V 1 = 5,6   V , V 2 = 5,6   V , V 3 = 11,2   V , V 4 = 16,8   V

letra c) V a d = 11,2   V

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