Enunciado

A figura abaixo mostra quatro tubos de 1 m ou 2 m de comprimento e com uma das extremidades abertas. O terceiro harmônico é produzido em cada tubo e parte do som que escapa é captada pelo detector D , que se afasta dos tubos em linha reta. Em termos da velocidade do som v , que velocidade deve ter o detector para que a frequência do som proveniente

( a ) do tubo 1 ,

( b ) do tubo 2 ,

( c ) tubo 3 e

( d ) tubo 4

seja igual à frequência fundamental do tubo?

Passo 1

Vamos começar?

Primeiro temos que, para um tubo aberto em apenas uma das extremidades (fechado em uma) as frequências possíveis são:

f = 2 n - 1 4 . v L

Com isso, podemos encontrar a frequência no tubo (fonte), como foi dito no enunciado, foi produzido um terceiro harmônico ( n = 3 ) no tubo, logo:

f f = 5 4 v L

Nessa questão, queremos que a frequência sentida no receptor (observador) seja igual a frequência fundamental ( n = 1 ) do tubo, portanto:

f o = 1 4 v L  

Passo 2

Sabemos que quando temos uma fonte e um receptor (observador) se movendo, haverá uma diferença entre as frequências da fonte e do receptor dada pela expressão:

f o = f f v ± v o v ± v f

Agora precisamos definir o sentido das velocidades! Como o observador se afasta da fonte, o sinal de v o = v D é negativo. E a fonte está em repouso. Considerando a velocidade de propagação do som no ar como v , temos tudo para determinar o que é pedido.

Bora lá?!

Passo 3

Sabendo dos sinais, das velocidades e da frequência da fonte, basta aplicar na fórmula do efeito Doppler:

f o = f f v ± v o v ± v f

1 4 v L = 5 4 v L v - v D v

OPA! Olha que interessante! Os termos v / L podem ser cancelados dos dois lados e não importa o tamanho do tubo! A velocidade do detector vai ser a mesma para todos eles.

Agora é só manipulação matemática:

1 = 5 v - v D v

v = 5 v - 5 v D

v - 5 v = - 5 v D

- 4 v = - 5 v D

v D = 4 5 v

Feito!

Ou seja, para isso acontecer, o receptor precisa estar numa velocidade que é 4 / 5 da velocidade do som.

E se reparar bem, não importa como é o tubo, pois o comprimento do tubo irá se anular nessa relação acima!

Bora pra próxima?

Resposta

v D = 4 5 v

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