Enunciado

Na figura abaixo um som com um comprimento de onda de 0,850 m é emitido isotropicamente por uma fonte pontual F . O raio de som 1 se propaga diretamente do detector D , situado a uma distância L = 10 m . O raio de som 2 chega a D após ser refletido por uma superfície plana. A reflexão ocorre na mediatriz do segmento da reta F D , a uma distância d do raio 1 . Suponha que a reflexão desloca a fase de onda sonora de 0,500 λ . Qual é o menor valor de d (diferente de zero) para o qual o som direto e o som refletido chegam a D ( a ) em oposição de fase e ( b ) em fase.

Passo 1

Para o som chegar em D em oposição de fase, as ondas dos raios 1 e 2 tem de interferir destrutivamente.

A condição para termos interferência destrutiva é:

Δ L λ = m + 1 2

Δ L = λ m + 1 2

Mas temos que prestar atenção a um detalhe: a reflexão desloca a a fase sonora de 0,5 λ , assim, temos de somar esse deslocamento no lado direito da equação:

Δ L = λ m + 1 2 + 1 2 λ

Δ L = λ m + λ

Guardem essa condição de ressonância na cachola! Vamos precisar daqui a 2 passos!

Passo 2

Agora precisamos determinar a variação entre os deslocamentos dos raios sonoros.

Pelo desenho, é bem tranquilo de ver que o percurso feito pelo raio 1 vai ser:

L 1 = L 2 + L 2 = L

O percurso percorrido pelo raio 2 é um pouco mais chato de ver, mas vou descomplicar pra vocês:

Vou dar um zoom na parte do desenho que importa:

Dá pra ver que os segmentos de reta de tamanho L 2 , d ,   R a i o   2 formam um triângulo retângulo. Podemos assim aplicar o teorema de Pitágoras e determinar o percurso percorrido pelo raio 2 , vou chamar de L 2 .

L 2 2 = d 2 + L 2 4

O caminho total vai ser duas vezes a hipotenusa desse triângulo.

Assim a diferença de fase Δ L fica:

Δ L = L 2 - L 1 = 2 . d 2 + L 2 / 4 - L

Passo 3

Lembram daquela condição de ressonância que falei, então, vamos usar ela aqui! Tendo Δ L em função da distância d e já que queremos o menor valor de d , façamos m = 0 naquela condição e igualamos as expressões!

2 . d 2 + L 2 / 4 - L = λ . 0 + λ

Agora é só fazer um pouco de álgebra! Bora lá!

d 2 + L 2 / 4 = λ + L 2

d 2 + L 2 4 = λ 2 4 + λ L 2 + L 2 4

d 2 = λ 2 4 + λ L 2

Agora é só substituir os valores e tirar a raiz de d !

d 2 = 0,85 2 4 + 10.0,85 2

d 2 = 4,43

d = 2,10 m

Antes de passar para a letra ( b ) , vamos voltar para aquela condição de interferência DESTRUTIVA que encontramos.

Vejamos:

Δ L = λ m + λ

Mas olhando com mais atenção, não parece a condição para interferência CONSTRUTIVA???

É sim! Mas daí você se pergunta: mas como?!

Eu explico: quando o enunciado diz que a reflexão leva a um deslocamento de fase de meio comprimento de onda, ele na verdade adiciona isso à condição tanto de interferência construtiva, quanto da de destrutiva. E como cada uma delas difere apenas em meio comprimento de onda, uma acaba tendo a cara da outra nesse caso.

Para resolver a letra ( b ) , vamos proceder do mesmo modo e acabar achando a condição de interferência destrutiva para esse caso (que seria construtivo se não tivesse o deslocamento adicional)

Passo 4

A condição para termos interferência destrutiva é:

Δ L λ = m

Mas temos aquele deslocamento adicional, então:

Δ L = m λ + 1 2 λ

O valor de Δ L continua sendo o mesmo, então podemos reciclar do passo 2 . Como queremos a menor distância d , faremos m = 0 . Assim:

2 . d 2 + L 2 / 4 - L = 0 . λ + 1 2 λ

2 . d 2 + L 2 / 4 = λ 2 + L

2 . d 2 + L 2 4 2   = λ 2 + L 2

4 . d 2 + L 2 4 = λ 2 4 + λ L + L 2

4 d 2 = λ 2 4 + λ L

d 2 = λ 2 16 + λ L 4 = 0,85 2 16 + 10.0,85 4

d = 1,47 m

Resposta

a 2,10 m

b 1,47 m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O detector de neutrinos SuperKamiokande no Japão é um tanque de água do tamanho de um edifício de 14 andares. Quando os neutrinos colidem com elétrons na água, a maior parte de sua energia é transferi
Uma fonte sonora de frequência f e se move com a velocidade em relação ao ar parado, em direção a um receptor que está se afastando com a velocidade u r em relação ao ar parado, longe da fonte. (a) Es
O efeito Doppler é usado rotineiramente para medir a velocidade dos ventos em sistemas de tempestades. Como gerente de uma estação de monitoramento meteorológico no Centro-Oeste, você está usando um s
Você é responsável por calibrar as armas de radar para um departamento de polícia local. Um desses dispositivos emite microondas a uma frequência de 2,00 GHz. Durante os testes, você o organizou para
Você está em um balão de ar quente transportado por um vento de 36 km / h e possui uma fonte sonora que emite um som de 800 Hz quando se aproxima de um prédio alto. (a) Qual é a frequência do som ouvi