Enunciado

Na figura, um alpinista de 55 k g está subindo por uma chaminé na pedra com as mãos puxando um lado da chaminé e os pés pressionando o lado oposto. A chaminé tem uma largura w   =   0,20   m e o centro de massa do alpinista está a uma distância horizontal d   =   0,40 m da chaminé. O coeficiente de atrito estático entre mãos e rocha é μ 1 =   0,40 e entre as botas e a pedra é μ 2 =   1,2 .

a) Qual é a menor força horizontal das mãos e dos pés que mantém o alpinista estável?

b) Para a força horizontal do item (a), qual deve ser a distância vertical h entre as mãos e os pés?

c) Se o alpinista encontra uma pedra molhada, para a qual os valores de μ 1 e μ 2 são menores, o que acontece com a resposta do item (a)?

d) E a resposta do item (b) ?

Passo 1

Fala galerinha do RespondeAí, tudo beleza?

Nesse exercício aqui temos um alpinista de 55   kg se segurando em uma chaminé com 0,20   m de largura.

Sabendo que o alpinista está em equilíbrio, e que o coeficiente de atrito estático entre mãos e rocha é μ 1 =   0,40 e entre as botas e a pedra é μ 2 =   1,2 , na letra (a) o enunciado pede pra gente encontrar a menor força horizontal das mãos e dos pés que mantém o alpinista estável.

Iradoso, então se a gente desenhar as forças que atuam no sistema, teremos:

Onde N 1 e N 2   são as forças que o alpinista exerce sobre as laterais da chaminé através das mãos e dos pés respectivamente. Enquanto que f 1 e f 2 são as devidas forças de atrito resultantes de N 1 e N 2 , além disso temos a força peso P do alpinista.

Do equiíbrio vertical das forças, temos:

m g = f 1 + f 2

m g = μ 1 N 1 + μ 2 N 2

Passo 2

Belezoca, agora do equilíbrio das forças exercidas na horizontal, a gente tem:

N 1 = N 2

Então, considerando N 1 = N 2 = N a expressão do Passo 1 fica assim:

m g = μ 1 N + μ 2 N

m g = μ 1 + μ 2 N

Isolando N :

N = m g μ 1 + μ 2

Como o enunciado nos deu que μ 1 = 0,4 e μ 2 = 1,2 , com um alpinista pesando 55   kg , obtemos que:

N = 55 9,8 0,4 + 1,2

N = 3,4 × 10 2  N

Passo 3

(b)Agora pra gente encontrar a altura h , podemos considerar o equilíbrio de torques com relação ao ponto de contato entre os pés do alpinista e a parede, temos:

m g d + w - f 1 w - N 1 h = 0

Então isolando a altura h :

h = m g d + w - f 1 w N 1

Logo:

h = 55 9,8 0,4 + 0,2 - 0,4 3,4 × 10 2 0,2 3,4 × 10 2

h = 0,86   m

Passo 4

Para responder a essa pergunta, vamos lembrar da expressão que encontramos no item a)

N = m g μ 1 + μ 2

Se o denominador da equação acima diminui, o valor de N aumenta (para um mesmo valor de m g ). Então, podemos perceber que se a pedra estiver molhada, a resposta do item a) aumenta.

Passo 5

(d)Vamos agora desenvolver a expressão do passo 3:

h = m g d + w - f 1 w N = m g d + w - ( μ 1 × N ) w N = m g d + w N - μ 1 w  

Nesse caso, como N aumenta, o denominador de m g d + w N diminui, o que faz com que h diminua. Então, se os coeficientes de atrito diminuem, h também diminui.

Resposta

(a) 3,4 × 10 2   N

(b) 0,86   m

(c)Aumenta

(d)Diminui

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