Enunciado

A figura mostra o deslocamento y do ponto de uma corda situado em x = 0 em função do tempo   t quando uma onda passa pelo ponto. A escala do eixo y é definida por y   =   6,0   m m . A onda tem a forma y x ,   t = y m   s e n ( k x   - ω t   + ϕ ) . Qual é o valor de ϕ ? (Atenção: as calculadoras nem sempre fornecem o valor correto de uma função trigonométrica inversa; por isso, verifique se o valor obtido para ϕ é o valor correto, substituindo-o na função y ( x ,   t ) ,

usando um valor numérico qualquer para ω e plotando a função assim obtida.)

Passo 1

Como diz o enunciado, o gráfico nos mostra o deslocamento de um ponto situado em x = 0 . Então, ele representa graficamente a onda y 0 , t = y m s e n ( - ω t + ϕ ) . Analisando um pouquinho mais o gráfico, a gente tem:

  1. Em t = 0 y 0,0 = y m s e n ϕ = 2,00   m m
  2. O maior valor de y é y m = 6,00   m m

Usando esses dois fatos, a gente tem como resultado:

2,00   m m = 6,00   m m s e n ϕ

s e n ϕ = 1 3

Então: ϕ = 0,34   r a d ou ϕ = π   r a d - 0,34   r a d = 2,8   r a d . Eita, e agora, qual ângulo escolher?

Passo 2

Pra a gente saber qual escolha fazer, vamos precisasr derivar a equação de y ( 0 , t ) dada inicialmente pra verificar o sinal da velocidade encontrada. Fazendo isso, temos:

d y ( 0 , t ) d t = d [ y m   s e n   - ω t   + ϕ ] d t = - y m ω c o s ⁡ ( - ω t + ϕ )

Como em t = 0 a derivada da posição é positiva, deve ocorrer que d y ( 0 , t ) d t > 0 e então - cos ⁡ - ω × 0 + ϕ > 0 , ou seja: - cos ⁡ ϕ > 0 . Então: π 2 < ϕ < π ou π < ϕ < 3 π / 2 .

Em outras palavras, como π   r a d ≅ 3,14   r a d , : 1,57   r a d < ϕ < 3,14   r a d ou 3,14   r a d < ϕ < 4,71   r a d . O único ângulo dos selecionados acima que se enquadra em algum desses intervalos é ϕ = 2,8   r a d .

Resposta

2,8   r a d  

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A equação de uma onda transversal que se propaga em uma corda muito longa é y = 6,0s e n ( 0,020 π x + 4,0 π t ) , onde x e y estão em centímetros e t em segundos. Determine (a) a amplitude, (b) o com
Uma onda senoidal se propaga em uma corda. O tempo necessário para que um ponto da corda se desloque do deslocamento máximo até zero é 0,170s . Qual é (a) o período e (b) a frequência da onda? (c) O c
Uma onda transversal senoidal de comprimento de onda 20c m se propaga em uma corda no sentido positivo de um eixo x . O deslocamento y da partícula da corda situada em x = 0 é dado na figura em função
A figura mostra a velocidade transversal u em função do tempo t para o ponto de uma corda situado em x = 0 , quando uma onda passa por ele. A escala do eixo vertical é definida por u s = 4,0m / s . A
Se y x , t = 6,0m m s e n ( k x + ( 600r a d / s ) t + φ ) descreve uma onda que se propaga em uma corda, quanto tempo um ponto da corda leva para se mover entre os deslocamentos y = + 2,0m m e y = -