Enunciado

Na Figura um pacote de massa m está pendurado em uma corda que, por sua vez, está presa à parede através da corda 1 e ao teto através da corda 2 . A corda 1 faz um ângulo φ = 40 ° com a horizontal; a corda 2 faz um ângulo θ . (a) Para que valor de θ a tensão da corda 2 é mínima? (b) Qual é a tensão mínima da corda 2 , em múltiplos de m g ?

Passo 1

Vamos começar desenhando a situação:

Vamos começar decompondo as componentes horizontais dos vetores, e usando a condição de equilíbrio:

∑ F x = 0

T 2 cos ⁡ ϕ = T 1 c o s ⁡ ( θ )

E as componentes verticais, também pela condição de equilíbrio:

∑ F y = m g

T 1 sen ⁡ ϕ + T 2 sen ⁡ ( θ ) = m g

Passo 2

Com essas duas equações, chegamos ao seguinte sistema:

T 1 sen ⁡ ϕ + T 2 sen ⁡ ( θ ) = m g

T 2 cos ⁡ θ = T 1 c o s ⁡ ( ϕ )

Como queremos saber qual valor de θ minimiza a tensão T 2 , vamos tentar isolar essa grandeza.

Começamos isolando T 1 na primeira equação:

T 1 = T 2 cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ

E agora substituindo isso na segunda:

T 2 cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ + T 2 sen ⁡ ( θ ) = m g

E assim T 2   fica:

T 2 = m g cos ⁡ θ tan ⁡ ( 40 ° ) + sen ⁡ ( θ )

Passo 3

Falta agora achar o valor de θ que minimiza essa função:

T 2 = m g cos ⁡ θ tan ⁡ ( 40 ° ) + sen ⁡ ( θ )

Plotando um gráfico dessa função:

O ponto mínimo tem abcissa 5 π / 18 , que equivale a 50 ° .

Passo 4

Por fim, para responder qual é a tensão mínima da corda, basta calcular T 2 quando θ = 50 ° .

E não precisamos saber a massa, já que o enunciado pede a resposta em unidades de m g .

T 2 = m g cos ⁡ 50 ° tan ⁡ ( 40 ° ) + sen ⁡ ( 50 ° )

T 2 = 1 0,642 0,839 + 0,766 m g = 0,766 m g = 0,77   m g

Pronto!

Resposta

(a) θ = 55 °

(b) T 2 = 0,77   m g

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