Enunciado

Uma corda fixa nas duas extremidades tem ressonâncias sucessivas com comprimentos de onda de 0,54 m para o enésimo harmônico e 0,48 m para o (n + 1 )ésimo harmônico. (a) Quais harmônicos são esses? (b) Qual é o comprimento da corda?

Passo 1

(a) Podemos escrever as frequências de ressonância em termos da frequência do modo fundamental:

f n = n f 1

f n + 1 = ( n + 1 ) f 1

Fazendo a razão entre as duas equações:

f n + 1 f n = n + 1 n

Escrevendo as frequências em termos dos comprimentos de onda:

v λ n + 1 v λ n = n + 1 n

Simplificando:

λ n λ n + 1 = n + 1 n

Substituindo:

0.54 m 0.48 m = n + 1 n

n + 1 n = 1.125

1.125 n - n = 1

n = 1 / 0.125

n = 8

E o próximo harmônico é n = 9 .

Passo 2

Para a letra (b), basta usarmos um dos dois harmônicos em (a) e a relação:

L = n λ n 2

Para n=8:

L = 8 λ 8 2 = 4 0.54 m = 2.2 m

Resposta

a n = 8   e   n = 9

b L = 2.2 m

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