Enunciado

Na figura, uma fonte pontual S de ondas sonoras está nas proximidades de uma parede A B . As ondas produzidas pela fonte chegam a um detector D de duas formas: diretamente (raio R 1 ) e depois de serem refletidas pela parede, com um ângulo de incidência θ i igual ao ângulo de reflexão θ r (raio R 2 ). Suponha que a reflexão do som na parede causa um deslocamento de fase de 0,500   λ . Se as distâncias são d 1 = 2,50   m , d 2 = 20,0   m e d 3 = 12,5   m , determine (a) a menor frequência e (b) a segunda menor frequência para a qual os raios R 1 e R 2 estão em fase ao chegaram ao detector D .

Passo 1

Vamos começar analisando a diferença de caminho entre a luz que vai de S até D pelo raio R 1 e a que reflete na parede e segue R 2 .

Para isso vamos aplicar o teorema de pitágoras:

x R 1 2 = d 2 2 + d 3 2

E para o caminho R 2 temos que fazer um pequeno “prologamento” do raio para formar um triângulo retângulo:

x R 2 2 = d 1 + d 1 + d 2 2 + d 3 2

Então a diferença de caminho entre os raios é:

Δ x = x R 2 - x R 1

Δ x = d 1 + d 1 + d 2 2 + d 3 2 - d 2 2 + d 3 2

Δ x = 20,0 + 2,50 + 2,50 2 + 12,5 2 - 2 0 2 + 12,5 2

Δ x = 4,37   m

Passo 2

Mas além da diferença de caminho, temos um deslocamento de fase de 0,500   λ gerado pela reflexão contra a parede.

Então a diferença total é:

Δ d = Δ x + 0,500   λ

Δ d = 4,37 + 1 2 λ

Se os raios chegam em fase até o detetor D , isso quer dizer que a diferença Δ d é um múltiplo do comprimento de onda λ :

Δ d = n λ

4,37 + 1 2 λ = n λ

n - 1 2 λ = 4,37

Passo 3

Mas nosso objetivo aqui é calcular frequências, por isso precisamos substituir λ na equação usando a seguinte fórmula:

v = λ f         ⇒         λ = v / f

Então a nossa equação fica:

n - 1 2 v f = 4,37

Onde v = 343   m / s , então:

f = n - 1 2   343 4,37 = n - 1 2 78,5

Passo 4

(a) Então a menor frequência acontece quando n = 1 , ou seja:

f 1 = 1 - 1 2 78,5 = 39,3   H z

(b) E a segunda menor frequência acontece quando n = 2 , então:

f 2 = 2 - 1 2 78,5 = 118   H z

Resposta

(a) f 1 = 39,3   H z .

(b) f 2 = 118   H z .

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