Enunciado

A figura mostra uma barra de comprimento L = L 1 + L 2 formada por dois materiais. O trecho de comprimento L 1 é feito de um material com um coeficiente de dilatação linear a 1 ; o trecho de comprimento L 2 é feito de um material com um coeficiente de dilatação linear a 2 . (a) Qual é o coeficiente de dilatação α da barra como um todo? Se L = 52,4   c m , o material 1 é aço, o material 2 é latão e α = 1,3   .   10 - 5   / ° C , qual é o valor (b) de L 1 e (c) de L 2 ?

Passo 1

(a) Vamos começar encontrando o coeficiente de dilatação linear da barra inteira em função dos coeficientes das suas duas partes.

Precisamos de uma expressão para a variação do comprimento L da barra inteira:

Δ L = Δ L 1 + Δ L 2

Δ L = L 1 a 1 Δ T + L 2 a 2 Δ T

Δ L = a 1 L 1 + a 2 L 2 Δ T

Ao mesmo tempo, se conhecêssemos o coeficiente de dilatação linear α da barra, poderíamos escrever:

Δ L = L α Δ T

Vamos igualar as duas expressões:

Δ L = Δ L

a 1 L 1 + a 2 L 2 Δ T = L α Δ T

α = a 1 L 1 + a 2 L 2 L

Passo 2

Podemos consultar uma tabela para ver que:

α l a t ã o = 19 × 10 - 6   / ° C

α a ç o = 11 × 10 - 6   / ° C

E se subtituirmos esses e os outros valores na expressão que acabamos de encontrar, teremos o seguinte:

1,3 × 10 - 5 = 11 × 10 - 6 L 1 + 19 × 10 - 6 L 2 L 1 + L 2

Nosso objetivo é determinar L 1 e L 2 , ou seja, duas variáveis. Isso quer dizer que vamos precisar de duas equações.

A segunda equação pode ser determinada lembrando que L = 52,4   cm :

52,4 = L 1 + L 2

Então:

1,3 × 10 - 5 L 1 + L 2 = 11 × 10 - 6 L 1 + 19 × 10 - 6 L 2 52,4 = L 1 + L 2

Simplificando um pouco:

6 × 10 - 6 L 2 = 2 × 10 - 6 L 1 52,4 = L 1 + L 2

Passo 3

(b) Vamos resolver esse sistema. Podemos isolar L 2 na primeira equação e substituir na segunda:

52,4 = L 1 + 2 × 10 - 6 L 1 6 × 10 - 6

52,4 = 4 3   L 1

L 1 = 39,3   cm

Passo 4

(c) Agora podemos substituir na segunda equação para calcular L 2 :

52,4 = L 1 + L 2

52,4 = 39,3 + L 2

L 2 = 13,1   c m

Resposta

(a) α = a 1 L 1 + a 2 L 2 L   .

(b) L 1 = 39,3   c m .

(c) L 2 = 13,1   c m .

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