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A figura mostra a distribuição hipotética de velocidades das partículas de um certo gás: P v = C v 2 para 0 < v < v 0 e P v = 0 para v > v 0 . Determine (a) uma expressão para C em termos de v 0 , (b) a velocidade média das partículas e (c) a velocidade média quadrática das partículas.

Passo 1

(a) Sempre que você der de cara com uma distribuição de probabilidade, é muito provável (pelo menos nessa disciplina) que você precise usar essa propriedade aqui:

∫ - ∞ ∞ P v d v = 1

Que é basicamente o seguinte: a soma de todas as probabilidades é 100 % , nada muito surpreendente né?

Enfim, vamos usar isso pra procurar a “expressão” para C em termos de v 0 :

∫ - ∞ ∞ C v 2 d v = 1

No nosso caso, como a função é nula tanto antes do zero, quanto depois do v 0 , a gente pode trocar os limites de integração por esses valores:

∫ 0 v o C v 2 d v = 1

C v o 3 3 - C 0 3 3 = 1

C = 3 v o 3

Ótimo, conseguimos.

Passo 2

(b) A velocidade média das partículas é simplesmente o “valor esperado” dessa distribuição (talvez você lembre disso das aulas de estatística), a fórmula é essa aqui:

v m = ∫ 0 v o v P v   d v

v m = ∫ 0 v o C v 3 d v = C v o 4 4

E jogando o valor de C que acabamos de achar:

C v 4 4 = 3 v o 3 v o 4 4 = 3 4 v o

v m = 0,750 v o

Passo 3

(c) A velocidade média quadrática também tem uma definição parecida:

v r m s 2 = ∫ 0 v o v 2 P v   d v

v r m s 2 = ∫ 0 v o C v 4 d v = C v o 5 5

E jogando o valor de C que acabamos de achar:

C v 5 5 = 3 v o 3 v o 5 5 = 3 5 v o 2 = 0,6 v o 2

Então:

v r m s = 0,6 v o 2 = 0,775 v o

Resposta

(a) C = 3 / v 0 3 .

(b) v m = 0,750 v o .

(c) v r m s = 0,775 v o .

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