Enunciado

A figura mostra a distribuição de velocidades hipotética das N partículas de um gás [note que P v = 0 para qualquer velocidade v > 2 v 0 ]. Qual é o valor de (a) a v 0 , (b) v m é d / v 0 e (c) v r m s / v 0 ? (d) Qual é a fração de partículas com velocidades entre 1,5 v 0 e 2,0 v 0 ?

Passo 1

Fala galerinha mais esperta desse Brasil, tudo jóia com vocês?

(a) Toda distribuição vai ter uma propriedade bem útil: como ela representa a “probabilidade” de as partículas de um gás terem uma certa probabilidade, a gente pode afirmar o seguinte:

∫ - ∞ + ∞ P v   d v = 1

Ou seja, a área embaixo desse gráfico todo é 1 , porque a soma de todas as probabilidades sempre dá um!

Mas nesse caso nem precisamos calcular uma integral mesmo, é só fazer a área do triângulo e do retângulo, já que a função é nula nos outros pontos:

a v 0 2 + a v 0 = 1

3 2 a v 0 = 1

a v 0 = 2 3

E então:

a v 0 ≅ 0,67

Passo 2

Agora vamos dar uma olhada no gráfico. Qual é a equação daquela reta inclinada logo no início.

P ( v ) = A v + B

Como ela cruza a origem, já dá pra afirmar que a constante B é zero. E o a vai ser simplesmente a clássica variação do y sobre variação do x :

A = a / v 0

Ou seja, a equação daquela reta inclinada (entre o v = 0 e v = v 0 ) é:

P ( v ) = a v o v

E na parte reta (entre v = v 0 e v = 2 v 0 ), aí é só uma função constante:

P v = a

Passo 3

(b) Agora a gente já tem a equação do gráfico, é só lembrar de algumas definições. Por exemplo, qual é relação da velocidade média com aquela integral lá de cima?

v m é d = ∫ - ∞ + ∞ v . P v   d v = ∫ 0 2 v 0 v . P v   d v

Beleza, agora ficamos com uma integral mais razoável. Mas integrar primeiro a parte da reta inclinada:

∫ 0 v 0 v . a v 0 v   d v

∫ 0 v 0 a v 0 v 2   d v = a v 0 v 0 3 3 = a v 0 2 3

E a parte da função constante:

∫ v 0 2 v 0 a v   d v = a 2 v 0 2 2 - a v 0 2 2 = 3 2 a v 0 2

E somando as duas:

v m é d = a v 0 2 3 + 3 a v 0 2 2

Como descobrimos antes que a v 0 = 2 / 3 .

v m é d = 2 9 v 0 + v 0 = 11 9 v 0

E então a resposta vai ser:

v m é d v 0 = 11 9 ≅ 1,2

Passo 4

(c) Agora vamos fazer basicamente a mesma coisa, mas a definição da velocidade quadrática média:

v r m s 2 = ∫ 0 2 v 0 v 2 P v   d v

Mais uma vez, começando pela parte da reta inclinada:

∫ 0 v 0 v 2 a v 0 v   d v = a v 0 v 0 4 4 = a 4 v 0 3

∫ v 0 2 v 0 v 2 a   d v = a 2 v 0 3 - v 0 3 3 = 7 a v 0 3 3

Beleza, agora somando as duas e substituindo por a v 0 = 2 / 3 :

v r m s 2 = a 4 v 0 3 + 7 a 3 v 0 3 = 2 12 v 0 2 + 14 9 v 0 2 = 31 18 v 0 2

E então a resposta vai ser:

v r m s v 0 = 31 18 ≅ 1,31

Passo 5

(d) A gente já viu que nesse gráfico a área está ligada ao número de partículas em uma determinada velocidade, certo?

E na letra (a) nós vimos que a área total embaixo do gráfico é 1 . Então a fração das partículas entre 1,5 v 0 e 2,0 v 0 é:

∫ 1,5 v 0 2,0 v 0 P v   d v

E como a função é constante e igual a a nesse intervalo inteiro:

∫ 1,5 v 0 2,0 v 0 P v   d v = a 2,0 v 0 - 1,5 v 0 = 0,5 ( a ) ( v 0 )

0,5 2 3 = 1 2 2 3 = 1 3

Pronto!

Resposta

(a) a 0 v 0 = 0,67 .

(b) v m é d / v 0 = 1,2 .

(c) v r m s / v 0 =   1,31 .

(d) 1 / 3 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Dois recipientes estão à mesma temperatura. O primeiro contém gás à pressão p 1 , de massa molecular M 1 e velocidade média quadrática v r m s 1 . O segundo contém gás à pressão 2,0 p 1 , de massa mol
A figura mostra a distribuição de probabilidade da velocidades das moléculas de uma amostra de nitrogênio. A escala do eixo horizontal é definida por v s = 1200m / s . Determine (a) a temperatura do g
Uma molécula de hidrogênio (diâmetro 1,0.10 - 8c m ), movendo-se à velocidade média quadrática, escapa de um forno a 4000K para uma câmara que contém átomos de argônio frios (diâmetro 3,0.10 - 8c m )
Em que temperatura os átomos de hélio têm a mesma velocidade média quadrática que as moléculas de hidrogênio a 20,0 ° C ? (As massas molares são dadas na Tabela 19-1).Tabela 19 - 1 : A massa molar do