Enunciado

A figura mostra um gráfico de x em função de t para um objeto se movendo ao longo de uma linha reta. Para esse movimento, esboce os gráficos (usando o mesmo eixo t ) de (a) v x como função de t , e (b) a x como função de t . (c) Use os esboços para comparar qualitativamente o(s) tempo(s) no(s) qual(is) o objeto está mais distante da origem ao(s) tempo(s) em que sua rapidez é máxima. Explique porque esses tempos não são os mesmos. (d) Use os esboços para comparar qualitativamente o(s) tempo(s) em que o movimento é mais rápido ao(s) tempo(s) quando sua aceleração é máxima. Explique porque esses tempos não são os mesmos.

Passo 1

(a) Aqui estamos falando apenas de um esboço qualitativo, até porque o gráfico do enunciado nem tem escalas nos eixos.

Como podemos usar o gráfico da posição para encontrar o da velocidade? É só lembrar da seguinte relação:

v t = d x t d t

Ou seja, queremos simplesmente o gráfico da derivada daquela função! Uma forma bem fácil de fazer isso é perceber que a função no enunciado é senoidal:

x t = A sen ⁡ ( B t )

Sabemos que se trata de um seno, e não de um cosseno, porque x 0 = 0 . E os valores das constantes A e B não importam, já que estamos fazendo apenas um esboço.

v t = d d t A sen ⁡ B t = A B cos ⁡ B t

E desenhando isso no mesmo intervalo para o eixo horizontal:

Perceba que, assim como no gráfico do enunciado, nós representamos exatamente um período de onda e meio no eixo horizontal. Ou seja, estamos lidando com o mesmo intervalo de tempo.

Passo 2

(b) Agora para falar da aceleração só precisamos derivar por uma segunda vez:

a x t = d 2 x t d t 2 = d v t d t

a x t = d d t A B cos ⁡ B t = - A B 2 sen ⁡ ( B t )

E podemos continuar ignorando o valor das constantes. Agora vamos voltar para uma função senoidal, mas com o sinal trocado:

Passo 3

(c) Agora vamos pensar no seguinte: o que acontece com a velocidade nos pontos onde a partícula está a uma distância máxima da origem?

Bom, olhando para o gráfico da posição, vemos que a distância em relação à origem quando a partícula está prestes a inverter o sentido do seu movimento e voltar.

Acontece que nesses pontos a velocidade é nula, justamente para permitir essa inversão!

Passo 4

(d) Olhando para os gráficos, vemos que os picos da velocidade correspondem aos pontos em que a partícula (no gráfico da posição) está passando pela origem, e que nesses pontos, a aceleração é nula.

A aceleração é máxima nos pontos em que a velocidade está sendo reduzida a zero para que a partícula possa mudar de sentido e continuar oscilando.

Resposta

(a) Ver gráfico.

(b) Ver gráfico.

(c) A velocidade é nula nos pontos mais distantes da origem.

(d) A aceleração é máxima nos pontos em que a velocidade é nula, pois está sofrendo uma inversão de sentido.

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