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Solucionário completo

Exercícios Resolvidos de Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick

Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick - 13.5 - 42

A figura (a) mostra uma partícula A que pode ser deslocada ao longo de um eixo y desde uma distância infinita até a origem. A origem está localizada no ponto médio entre as partículas B e C , que têm massas iguais, e o eixo y é perpendicular à reta que liga essas duas partículas. A distância D é 0,3057   m . A figura (b) mostra a energia potencial U do sistema de três partículas em função da posição da partícula A no eixo y . A curva na verdade se estende indefinidamente para a direita e tende assintoticamente para um valor de - 2,7   .   10 - 11   J quando y → ∞ . Qual é a massa (a) das partículas B e C e (b) da partícula A .

Passo 1

(a) Vamos enfatizar que o gráfico da figura (b) representa a energia potencial do sistema de três partículas. Isso significa que a quantidade U do gráfico é calculada somando as energias potenciais entre cada par de partículas, da seguinte forma:

U =   - G M A M B r A B + G M A M c r A C + G M B M C r B C

Quando y aumenta (no gráfico), a partícula A está se afastando das outras duas. Perceba que:

y → ∞ ⇒ r A B → ∞ ⇒   G M A M B r A B → 0

y → ∞ ⇒ r A B → ∞ ⇒   G M A M c r A C → 0  

Ou seja, todos os potenciais que envolvem a partícula A se anulam, e sobra apenas:

U =   - G M B M C r B C

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O enunciado nos disse que as massas M B e M C são iguais, e pela figura vemos que r B C = 2 D

Substituindo na fórmula para quando y → ∞ :

U =   - G M B M C r B C

- 2,7   .   10 - 11   = - 6,67   .   10 - 11 .   M B , C 2 2   .   ( 0,3057 )

Multiplicando por - 1 , cortando a potência 10 - 11 e isolando o que queremos obter:

M B , C = 2   .   2,7   .   ( 0,3057 ) 6,67 = 0,497486   k g

Ajustando os algarismos significativos:

M B , C = 0,50   k g

Passo 3

(b) Agora, queremos encontrar a massa da partícula A . Vamos ver as informações que nós já temos:

U =   - G M A M B r A B + G M A M c r A C + G M B M C r B C

M B , C = 0,50   k g

Veja que ainda não usamos nenhuma informação do gráfico! Se pegarmos um ponto conveniente ali, podemos usar a primeira equação para calcular M A .

O ponto que mais facilita nossa vida tem U =   - 3,5   .   10 - 10   J e y = 0 . Nesse caso:

r B C = 2 . D = 0,6114   m

r A B = r A C = D = 0,3057

Resolvendo a equação acima:

- U =   G M A M B D + G M A M c D + G M B M C 2 D

Multiplicando tudo por D e dividindo por G :

- U . D G = M A M B + M A M C + M B M C 2

- U . D G - M B M C 2 = M A M B + M A M C

Colocando M A em evidência:

- U . D G - M B M C 2 = M A . M B + M C

Agora substituindo os valores:

- - 3,5   .   10 - 10   .   0,3057   6,67   .   10 - 11 - 0,5 2 2 = M A . 0,5 + 0,5

M A = 3,5   .   10 - 10   .   0,3057   6,67   .   10 - 11 - 0,25 2 = 1,4791   k g

Ajustando para dois algarismos significativos:

M A = 1,5   k g

Pronto!

Resposta

(a) M B = M C = 0,50   k g

(b) M A =   1,5   k g

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