Enunciado

A figura mostra o poço de energia potencial unidimensional no qual se encontra uma partícula de 2,0   k g [a função U ( x ) é da forma b x 2 e a escala do eixo vertical é definida por U s = 2,0   J ]. (a) Se a partícula passa pela posição de equilíbrio com uma velocidade de 85   c m / s , a partícula retorna antes de chegar ao ponto x = 15   c m ? (b) Caso a resposta seja afirmativa, calcule a posição do ponto de retorno; caso a reposta seja negativa, calcule a velocidade da partícula no ponto x = 15   c m

.

Passo 1

Show de bolinhas galerinha, primeiro vamos começar lembrando do seguinte: a energia total do sistema é constante. No gráfico, a energia representada é a potencial, mas temos a cinética também. Elas seguem essa relação aqui:

E = U + K

Onde E é a energia total. E pela lei de conservação de energia, podemos dizer o seguinte:

U 1 + K 1 = U 2 + K 2

Belezoca, então bora lá ver como que fica essa brincadeira.

Passo 2

(a) Ok, agora vamos aplicar a lei de conservação.

Se a partícula passa pelo ponto de equilíbrio (onde a energia potencial é nula) com velocidade 0,85   m/s , a primeira parte da lei de conservação fica assim:

U 1 + K 1 = 0 + m v 2 2

U 1 + K 1 = 2,0 0,85 2 2

U 1 + K 1 = 0,7225   J

Ok, agora olhando o gráfico, pra chegar até o ponto x = 15   cm = 0,15   m , ele precisa ter energia potencial:

U 2 ≅ 1,1   J

Ou seja, a lei de conservação ficaria assim:

U 1 + K 1 = U 2 + K 2

0,7225 = 1,1 + K 2

K 2 = - 0,3775   J

Mas energia cinética negativa não existe! Ou seja, esse movimento é impossível, então a partícula retorna antes de chegar no ponto x = 15   c m .

Passo 3

(b) Então, aonde é o ponto de retorno?

Já vimos que qualquer ponto vai ter que satisfazer essa relação aqui.

0,7225 = U 2 + K 2

No ponto de retorno, a energia cinética vai ser exatamente zero, então:

U 2 = 0,7225   J

E olhando o gráfico, isso é mais ou menos:

x = ± 12   c m

(Porque cada traço do eixo vertical “vale” 0,25   J , e então o ponto de eneria 0,7225   J vai ser um pouco antes do terceiro traço.)

Passo 4

Outra forma de resolver isso é pegar algum ponto do gráfico pra achar o valor de b naquela fórmula que o enunciado deu:

U x = b x 2

U 10 = 0,5

Logo:

b 10 2 = 0,5

b = 0,005   J/cm²

b = 50   J/m²

E então aquela igualdade que usamos no início (para o ponto de retorno) ficaria:

U x = 0,7225

50 x 2 = 0,7225

x 2 = 0,01445

Segue que:

x = 0,01445

x = 0,12   m

O que bate com o resultado que tínhamos achado no “olhômetro”!

Resposta

(a) Sim, a partícula retorna.

(b) x = 0,12   m .

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