Enunciado

A figura mostra a velocidade transversal u em função do tempo t para o ponto de uma corda situado em x = 0 , quando uma onda passa por ele. A escala do eixo vertical é definida por u s = 4,0   m / s . A onda tem a forma y x , t = y m s e n k x - ω t + φ . Qual é o valor de φ ?

(Atenção: As calculadoras nem sempre fornecem o valor correto de uma função trigonométrica inversa; por isso, verifique se o valor obtido para φ é o valor correto, substituindo-o na função y ( x , t ) , usando um valor numérico qualquer para ω e plotando a função assim obtida.)

Passo 1

Falaa galerinha bonita, tudo beleza?

Nesse exercício aqui, o enunciado nos deu uma figura que mostra a velocidade transversal u em função do tempo t para o ponto de uma corda situado em x = 0 , quando uma onda passa pelo ponto.

E sabendo que a escala do eixo vertical é definida por u s = 4,0   m/s e que a onda tem a forma y x ,   t = y m sen ⁡ k x - ω t + ϕ , o enunciado pede pra gente determinar o valor da constante de fase ϕ .

Belezoca, é importante entender bem o seguinte: esse gráfico inteiro é referente a um único ponto em uma corda, o ponto x = 0 .

O valor que aparece no eixo y é a velocidade transversal desse único ponto. Que valor é esse na nossa equação da onda?

Bom, quando x = 0 a equação fica:

y 0 ,   t = y m sen ⁡ - ω t + ϕ

E a velocidade transversal é a derivada disso em relação ao tempo:

∂ y 0 , t ∂ t = u t

u t = - y m ω . cos ⁡ ( - ω t + φ )

Essa é a função que está representada no gráfico.

Passo 2

Então agora vamos usar o gráfico pra ver as informações que temos sobre essa função.

Primeiro, olhando o ponto máximo que a função atinge no gráfico ( u = 5   m/s ) , podemos afirmar que:

y m ω = 5

Já que o valor máximo que a função assume é y m ω , dado que o cosseno só varia entre 1 e - 1 .

Então, por enquanto, nossa função está assim:

u t = - 5 cos ⁡ ( - ω t + ϕ )

Segundo, olhando o ponto em que a função cruza o eixo y , temos que:

u 0 = - 4   m/s

u 0 = - 5 cos ⁡ ( - ω ( 0 ) + φ )

Logo:

- 5 cos ⁡ ϕ = - 4

cos ⁡ ϕ = 4 5

Então se a gente isolar ϕ , obtemos:

ϕ = cos - 1 ⁡ 4 5

E jogando esse valor em uma calculadora, o resultado é:

ϕ = ± 0,64   rad

Como ϕ deve estar no terceiro ou no quarto quadrante, a opção correta é ϕ = - 0,64   rad que corresponde a um ângulo de - 37 ° , e portanto, está no quarto quadrante. Enquanto que ϕ = 0,64   rad corresponde a um ângulo de 37 ° contido no primeiro quadrante. Sendo assim, a constante de fase será:

ϕ = - 0,64   rad

Resposta

ϕ = - 0,64   rad

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