Enunciado

Você coloca sua formiga de estimação, Carolina (massa m ), sobre uma corda horizontal esticada, a que ela se agarra com firmeza. A corda tem massa M e comprimento L , e está sob a tensão F . Você provoca uma onda senoidal transversal de comprimento de onda λ e amplitude A , que se propaga ao longo da corda. O movimento da corda ocorre em um plano vertical. A massa de Carolina é tão pequena que a sua presença não tem efeito sobre a propagação da onda.

  1. Qual é a velocidade máxima de Carolina ao oscilar para cima e para baixo?
  2. Carolina gosta da brincadeira e pede mais. Você decide dobrar a sua velocidade máxima variando a tensão ao mesmo tempo em que mantém o valor do comprimento de onda e da amplitude. A tensão deve ser aumentada ou diminuída, e em que fator?

Passo 1

Letra a)

Olá tudo bem? Vamos começar?

Digamos que a equação que descreve essa onda senoidal é dada pela seguinte expressão:

y x , t = A c o s ( k x - ω t )

Assim, a velocidade de oscilação para cima e para baixo da Carolina vai ser a velocidade transversal. Esta, por sua vez, é dada pela derivada temporal da posição. Então vamos derivar y ( x , t ) :

v y = ∂ y ∂ t = A ω s e n ( k x - ω t )

E a velocidade máxima vai ser quando a parte oscilante foi máxima:

v y , m á x = A ω

Temos a amplitude, agora só nos resta colocar a frequência angular em termos de F ,   M ,   L e λ .

Passo 2

A frequência angular pode ser dada em termos do comprimento da frequência f :

ω = 2 π f

E a frequência está relacionada com a velocidade de propagação e o comprimento de onda:

v = λ f

f = v λ

Então ω fica:

ω = 2 π v λ

Passo 3

Mas e a velocidade? Bom, essa está relacionada com a tensão no fio (que é F ) e a densidade linear de massa μ . A densidade não temos explicitamente, mas sabemos que ela é a razão entre a massa da corda M e seu comprimento L :

μ = M / L

Então a velocidade de propagação é:

v = F μ = F L M

Certo?

Então conseguimos colocar a frequência angular em termos das quantidades conhecidas:

ω = 2 π v λ = 2 π λ F L M

Passo 4

E por fim, podemos voltar à expressão para a velocidade máxima transversal:

v y , m á x = A ω

E colocar ela em termos das quantidades conhecidas. Resgatando a expressão para ω ali do passo anterior, é só substituir aqui em cima:

v y , m á x = A 2 π λ F L M

Passo 5

Letra b)

Agora você decide dobrar a velocidade e quer saber como fica a nova tensão. Bom, sabemos que a velocidade v y , m á x e a tensão F estão relacionadas pela seguinte expressão:

v y , m á x = A 2 π λ F L M

Vou isolar F para ver sua relação com a velocidade. Após algumas poucas manipulações teremos:

F = M L v y , m á x λ 2 π A 2

Agora vamos fazer v y , m á x ' = 2 v y , m á x , e descobrir como fica a nova tensão F ' :

F ' = M ' L ' v y , m á x ' λ ' 2 π A ' 2

Mas os valores de L ' ,   λ ' ,   M ' e A ' são os mesmos, então podemos substituir por L ,   λ ,   M   e   A respectivamente:

F ' = M L ( 2 v y , m á x ) λ 2 π A 2

E agora reorganizando um pouco:

F ' = 4 M L v y , m á x λ 2 π A 2

Ou seja, ao dobrarmos a velocidade, a tensão fica multiplicada por um fator de 4 :

F ' = 4 F

Resposta

a )   v y , m á x = A 2 π λ F L M

b ) F ' = 4 F

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