Enunciado

Quando uma onda transversal senoidal propaga-se ao longo de uma corda, as partículas da corda executam um M H S . Esse movimento é o mesmo que ocorre no caso de uma massa m presa a uma mola de constante igual a k ' . Para esse caso, verificamos no capítulo 13 que a frequência angular das oscilações é dada por ω = k ' / m . Considere uma corda com densidade linear μ sob tensão F ao longo da qual ocorre a propagação de uma onda transversal senoidal com amplitude A e comprimento de onda λ .

  1. Ache a ‘constante da mola k ’ da força restauradora que atua sobre um segmento curto da corda de comprimento igual a Δ x (sendo Δ x ≪ λ ).
  2. Como a ‘constante da mola ’ calculada no item a) é função de F ,   μ ,   A   e   λ ? Explique as razões físicas para esse comportamento.

Passo 1

Letra a)

Olá, tudo bem? A ideia aqui é relacionar ondas sonoras com uma onda se propagando num fio.

O enunciado nos lembrou que a frequência angular das oscilações é ω = k ' / m , certo?

Por outro lado, temos que para uma onda em um fio a frequência angular é:

ω = 2 π f

E podemos relacionar essa frequência com a velocidade transversal, certo? Então daí temos:

ω = 2 π v λ

Aqui está a relação que queria: a velocidade transversal tem relação com a força e a densidade linear da corda v = F / μ , então se substituirmos isso, vamos ter a frequência angular em termos da densidade (e ela tem a ver com o comprimento Δ x , né? Aqui tá o pulo do gato!), saca só:

ω = k ' / m = 2 π λ F / μ  

E elevando ao quadrado dos dois lados:

k ' m = 2 π λ 2 F μ  

k ' = m 2 π λ 2 F μ

E aqui tá aquele pulo do gato: podemos dizer que um pedaço do comprimento da corda é Δ x certo? E nesse pedaço de corda, como temos uma corda homogênea temos m = μ Δ x , daí aquela razão ali de m / μ pode ser substituída por Δ x !

k ' = F Δ x 2 π λ 2

E tai a relação que o problema pede!

Passo 2

Letra b)

A tal “constante de força” k ' que o problema chama é independente da amplitude A e da densidade linear μ , da mesma maneira que um oscilador harmônico simples!

A constante de força é proporcional à tensão na corda (que chamamos de F ) e é inversamente proporcional ao comprimento de onda λ . A tensão fornece a força de restauração e o fator 1 / λ 2 representa a dependência da força de restauração da curvatura da corda.

Beleza? Vamos pro próximo capítulo?

Resposta

a )   k ' = F Δ x 2 π λ 2

b )   k '   é   i n d e p e n d e n t e   d e   A   e   μ .

F   é   a   f o r ç a   d e   r e s t a u r a ç ã o  

1 λ 2 r e p r e s e n t a   a   d e p e n d ê n c i a   d a   f o r ç a   d e   r e s t a u r a ç ã o   d a   c u r v a t u r a   d a   c o r d a

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