Enunciado

Na figura, o plano inclinado é sem atrito e o fio passa pelo centro de massa de cada bloco. A polia tem um momento de inércia I e raio R . (a) Determine o torque resultante sobre o sistema (as duas massas, o fio e a polia) em relação ao centro da polia. (b) Escreva uma expressão para a quantidade de movimento angular total do sistema em relação ao centro da polia. Suponha as massas se deslocando com uma rapidez v . (c) Determine a aceleração das massas usando seus resultados das partes (a) e (b) e igualando o torque resultante à taxa de variação da quantidade de movimento angular do sistema.

Passo 1

(a) Vamos procurar uma expressão para o torque resultante em relação ao centro da polia. Vamos considerar o sentido positivo como aquele que favorece a rotação da polia no sentido horário.

Em todos os casos, a distância entre o ponto onde a força é aplicada sobre a polia e o centro é o raio R .

As forças que produzem torque sobre a polia são os pesos dos dois blocos:

∑ τ = - m 1 g R + m 2 g R sen ⁡ θ

∑ τ = g R m 2 sen ⁡ θ - m 1

Passo 2

(b) Para escrever o momento angular total do sistema em relação ao centro da polia, vamos primeiro considerar o momento da própria polia:

L 1 = I ω

Onde ω = v / R , então:

L 1 = I v R

E os momentos angulares das duas massas podem ser escritos da seguinte forma:

L 2 = m 1 v R

L 3 = m 2 v R

Já que R é a distância entre o centro da polia e as direções das velocidades de ambas as massas.

Então o momento angular total é:

L = L 1 + L 2 + L 3

L = I v R + m 1 v R + m 2 v R

L = v R I R 2 + m 1 + m 2

Passo 3

(c) Agora que temos o momento angular resultante L , podemos tirar sua derivada temporal para encontrar o torque resultante:

τ = d L d t

τ = d d t v R I R 2 + m 1 + m 2

E a única variável que depende do tempo nessa expressão é v , as demais são constantes. Como a derivada temporal da rapidez é a aceleração:

τ = a R I R 2 + m 1 + m 2

E usando a expressão que deduzimos para o torque no item (a) podemos encontrar uma fórmula para a aceleração do sistema:

g R m 2 sen ⁡ θ - m 1 = a R I R 2 + m 1 + m 2

Isolando a :

a = g m 2 sen ⁡ θ - m 1 I R 2 + m 1 + m 2

Resposta

(a) τ = g R m 2 sen ⁡ θ - m 1 .

(b) L = v R I R 2 + m 1 + m 2 .

(c) a = g m 2 sen ⁡ θ - m 1 I R 2 + m 1 + m 2 .

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