Enunciado

Um filete de água escorre verticalmente de uma torneira de raio a , com o escoamento estacionário de vazão Q . Ache a forma do jato de água que cai, determinando o raio ρ da secção transversal em função da altura z de queda.

Passo 1

Vamos começar fazendo um desenho da situação:

Podemos escrever a equação de Bernoulli entre os pontos P 1 e P 2 :

p 1 + ρ g z 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p 2 + ρ g z 2 + 1 2 ρ v 2 2

Os dois pontos estão sobre a superfície, então p 1 = p 2 :

ρ g z 1 + 1 2 ρ v 1 2 = ρ g z 2 + 1 2 ρ v 2 2

E como a origem do sistema está na altura de P 1 , temos z 1 = 0 e z 2 = z :

1 2 ρ v 1 2 = ρ g z + 1 2 ρ v 2 2

v 1 2 2 g = v 2 2 2 g + z

Passo 2

E agora vamos aplicar a equação da continuidade nesses dois pontos.

Podemos chamar de a o raio da torneira no ponto P 2 , e de ρ o raio no ponto P 1 :

A 1 v 1 = A 2 v 2

π ρ 2 v 1 = π a 2 v 2

v 1 = a 2 ρ 2 v 2

Elevando os dois lados ao quadrado:

v 1 2 = a ρ 4 v 2

E substituindo na equação de Bernoulli:

a ρ 4 v 2 2 = v 2 2 + 2 g z

E nosso objetivo é achar ρ em função de z :

a ρ 4 = v 2 2 + 2 g z v 2 2

ρ 2 a 2 = v 2 v 2 2 + 2 g z

Passo 3

Para simplificar, vamos chamar essa velocidade v 2 de v :

ρ 2 a 2 = v v 2 + 2 g z

E ela pode ser calculada a partir do raio a da torneira e da vazão volumétrica Q :

Q = A v

Q = π a 2 v

v = Q π a 2

Agora sim, nossa resposta só depende de variáveis que foram dadas no enunciado.

Resposta

O raio é dado por ρ 2 a 2 = v v 2 + 2 g z , com v = Q / π a 2 .

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