Enunciado

Para o escoamento com circulação constante definido pela:

v = C Γ 2 π r     ,                 v → = v   θ ^ ,

Demonstre que, num plano horizontal, a pressão p varia com a distância r ao eixo com uma taxa de variação dada por d p d r = ρ v 2 r , onde ρ é a denisdade do fluido. Interprete esse resultado. Obtenha p como função de r a partir desta equação e explique o resultado obtido.

Passo 1

A circulação C Γ é a integral de linha da velocidade do fluido ao longo de um percurso Γ :

C Γ = ∮ Γ v → ∙ d l →

A relação que o enunciado deu nos diz que:

C Γ = ∮ Γ v → ∙ d l → = v 2 π r

Isso indica que a velocidade do fluido é sempre constante e perpendicular a um círculo de raio r partindo da origem. Pois nesse caso:

C Γ = ∮ Γ v → ∙ d l → = ∮ Γ v   d l = v ∮ Γ d l = v   2 π r

Passo 2

Em geral, temos a seguinte relação entre a pressão e a densidade de força f :

f = ∇ p

Como a nossa pressão só varia radialmente (porque a velocidade só varia radialmente), podemos reescrever esse gradiente como:

f = d p d r

Ou seja, para encontrar a relação d p / d r que foi pedida no enunciado, temos que calcular a densidade de força em um ponto qualquer do fluido.

Passo 3

Para que o fluido seja mantido em uma trajetória circular, precisamos ter:

F = m a = m v 2 r

Para uma pequena porção de flui:

d F = v 2 r     d m

E podemos reescrever d m = ρ   d V :

d F = v 2 r     ρ   d V

d F d V = ρ v 2 r

O termo do lado esquerdo é justamente a densidade de força f :

f = ρ v 2 r

Então:

f = d p d r = ρ v 2 r

Que é exatamente o que queríamos demonstrar. Esse resultado indica que a pressão varia cada vez menos conforme nos afastamos da origem, em qualquer direção.

Passo 4

Para encontrar p em função em função de r a partir desse resultado, vamos substituir v com a fórmula que foi dada no enunciado:

d p d r = ρ v 2 r

d p d r = ρ r   C Γ 2 π r 2 = ρ 4 π 2 r 3 C Γ 2

Então:

d p = ρ C Γ 2 4 π 2 r - 3   d r

Integrando os dois lados:

p r = - ρ C Γ 2 8 π 2 1 r 2 + A

E a constante que “sobrou” da integral representa o valor da pressão quando r → ∞ :

p r = p ∞ - ρ C Γ 2 8 π 2 1 r 2

E podemos reescrever isso com:

v 2 = C Γ 2 4 π 2 r 2

p r = p ∞ - 1 2 ρ v 2

Podemos inventar alguns valores para as constantes e fazer um gráfico para explicar o que esse resultado representa:

As unidades da pressão são arbitrárias, a ideia é só mostrar o seu comportamento.

Resposta

Ver demonstração. A pressão é dada por p r = p ∞ - 1 2 ρ v 2 .

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