Enunciado

Um fio de arame de comprimento 2 l é dobrado ao meio, formando um ângulo de 60 ° , e é suspenso pelo vértice O , oscilando num plano vertical. Calcule o período τ de pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio.

Passo 1

Vamos começar determinando o momento de inércia do sistema em relação ao ponto O . Podemos tratar cada pedaço do arame como uma barra homogênea:

Nós conhecemos o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro:

I C = 1 12 m l 2

E podemos usar o teorema dos eixos paralelos para encontrar o momento em relação a um eixo que passa pela extremidade:

I ' = I c + m l 2 4

I ' = 1 12 m l 2 + 1 4 m l 2 = 1 3 m l 2

E como temos dois arames, o momento de inércia total do sistema é:

I = 2 I ' = 2 3 m l 2

Passo 2

Agora vamos pensar nas forças que agem sobre o sistema:

∑ τ = I θ ¨ = - m g sen ⁡ θ d

Vamos aproximar sen ⁡ θ ≅ θ e substituir a expressão para o momento de inércia:

I θ ¨ + m g θ   d = 0

2 3 m l 2 θ ¨ + m g θ   d = 0

θ ¨ + 3 g 2 l 2   d   θ = 0

Ainda falta encontrar a posição d do centro de massa.

Passo 3

Os dois arames têm o mesmo comprimento, e estão separados por um ângulo de 60 ° . Ou seja, eles formam um triângulo equilátero.

Vamos lembrar da fórmula para a altura desse triângulo:

E o centro de massa está na metade da altura desse triângulo, então sua distância até o ponto O é:

d = 1 2 l 3 2 = l 3 4

Vamos substituir isso na equação lá de cima:

θ ¨ + 3 g 2 l 2   l 3 4   θ = 0

θ ¨ + 3 3 g 8 l θ = 0

Que é a equação de um oscilador com a seguinte frequência angular:

ω = 3 3 g 8 l

E o seguinte período:

τ = 2 π ω = 2 π 3 3 g 8 l = 4 π 8 l 3 3 g = 4 π × 2 2 l 3 9 g

τ = 4 π 3   2 3 l g

Resposta

O período de pequenas oscilações em torno do equilíbrio é τ = 4 π 3   2 3 l g .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um bloco de 4,10k g é empurrado sobre um piso por uma força horizontal constante de módulo 40,0N . A Fig. 6-30 mostra a velocidade v do bloco em função do tempo t quando o bloco se desloca sobre o pis
Você é um engenheiro trabalhando para uma empresa de manufatura. Você está projetando um mecanismo que usa um cabo para arrastar blocos de metal pesados por uma distância de 8,00m ao longo de uma ramp
Um carregador de supermercado empurra uma caixa com massa de 11,2k g sobre uma superfície horizontal com uma velocidade constante de 3,50m / s . O coeficiente de atrito cinético entre a caixa e a supe
Um carregador de supermercado empurra uma caixa com massa de 16,8k g sobre uma superfície horizontal com uma velocidade constante de 3,50m / s . O coeficiente de atrito cinético entre a caixa e a supe