Enunciado

Um fio de cobre conduz uma corrente de 10   A uniformemente distribuída em sua seção reta. Calcule a densidade de energia (a) do campo magnético e (b) do campo elétrico na superfície do fio. O diâmetro do fio é 2,5   m m e a resistência é 3,3   o h m s / k m .

Passo 1

Opa, tudo belezinha aí?

Vamos lá então! O enunciado nos pede a densidade de energia do campo magnético. Lá da teoria essa densidade é dada por

u b = B 2 2 μ 0

Importante aqui: o enunciado só diz “densidade de energia do campo magnético” então eu vou supor aqui que ele quer a densidade volumétrica de energia, que é essa equação acima, beleza? Outra densidade possível pra um problema como esse seria a densidade linear. Nesse caso teríamos que calcular toda a energia do campo magnético dentro desse fio e dividir pelo seu comprimento ;)

Passo 2

Show! Então pra calcular isso precisamos do campo magnético dentro do fio, beleza? Como o fio é cilindrico o enunciado tá implorando pra gente usar a lei de Ampère!

Pra isso vamos usar uma amperiana de raio r igual ao raio do fio ( R = 2,5 2 = 1,25 m m ), isso por que o enunciado pede essa densidade de energia na superfície do fio!

A lei de Ampère fica

∮ B → ⋅ d r → = μ 0 ∫ j → ⋅ d A →

Como temos um problema com simetria cilindrica e o campo é paralelo à d r →

2 π R B = μ 0 ∫ j → ⋅ d A →

Passo 3

Agora temos que focar no lado direito da equação. Nesse nosso caso aqui é bem simples, por que a amperiana pega o fio todo, então essa integral aí é toda a corrente que passa pelo fio (ufa!). Se fosse uma amperiana menor, daria mais trabalho haha

2 π R B = μ 0 I → B = μ 0 I 2 π R

Passo 4

Com a expressão encontrada no passo anterior, vamos calcular a densidade de energia desse campo:

u B = 1 2 μ o μ o I 2 π R 2 = μ o I 2 8 π 2 R 2 = 4 π × 10 - 7   H m 10   A 2 8 × π 2 × 1,25 × 10 - 3 2

u B = 1,02   J / m ³

Show!

Resposta

A densidade de energia do campo magnético é:

u B = 1,02   J / m ³

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