Enunciado

Um fio fino e leve está enrolado na borda externa de um cilindro oco uniforme com massa de 4,75 kg, tendo os raios interno e externo conforme mostra a Figura abaixo. O cilindro é liberado do repouso. (a) Até que distância o cilindro deverá cair antes que seu centro esteja se movendo a 6,66 m/s? (b) Se você simplesmente soltasse esse cilindro sem qualquer fio, com que velocidade seu centro estaria se movendo quando tivesse caído a uma distância igual à da parte (a)? (c) Por que existem duas respostas diferentes, se o cilindro cai pela mesma distância nos dois casos?

Passo 1

Tudo tranquilo? Vamos analisar o item (a). Nele precisaremos saber até que distância que o cilindro deve cair para que a velocidade de seu centro não seja 6,66 m/s. Como sabemos, a energia cinética inicial do cilindro é K 1 = 0 e a final ( K 2 ) é dada pela seguinte equação:

K 2 = 1 2 ⋅ m ⋅ v C M 2 + 1 2 I C M ⋅ ω 2

Onde o momento de inércia I C M , em relação ao eixo de simetria, é:

I C M = m ⋅ R 1 2 - R 2 2 2

Onde, R 1 é o raio interno e R 2 o raio externo. A velocidade angular, devido ao fio estar conectado à parte externa do cilindro, é:

ω = v C M R 2

Portanto, k 2 , para o cilindro mostrado na figura, é:

K 2 = 1 2 ⋅ m ⋅ v C M 2 + 1 2 [ m ⋅ R 1 2 - R 2 2 2 ⋅ v C M R 2 2

Agora iremos achar o valor da distância percorrida pelo cilindro utilizando a lei da conservação de energia, sabendo que as energias potenciais são U 1 = m ⋅ g ⋅ h e U 2 = 0 . Veja!

K 1 + U 1 = K 2 + U 2

m ⋅ g ⋅ h = 1 2 ⋅ m ⋅ v C M 2 + 1 2 m ⋅ R 1 2 - R 2 2 2 ⋅ v C M R 2 2

Substituindo os valores, temos:

4,75 ⋅ 9,81 ⋅ h = 1 2 ⋅ 4,75 ⋅ 6,66 2 + 1 2 4,75 ⋅ 0,35 2 - 0,2 2 2 ⋅ 6,66 0,35 2

46,5975 ⋅ h = 2,375 ⋅ 6,66 2 + 1 2 4,75 ⋅ 0,1225 + 0,04 2 ⋅ 6,66 2 0,35 2

46,5975 ⋅ h = 2,375 ⋅ 6,66 2 + 0,19296775 ⋅ 6,66 2 0,35 2

46,5975 ⋅ h = 2,375 ⋅ 6,66 2 + 1,5753 ⋅ 6,66 2

46,5975 ⋅ h = 3,9503 ⋅ 6,66 2

46,5975 ⋅ h = 175,2179

h = 3,7602

Passo 2

Item (b). Como o valor a distância percorrida é h = 3,7602 , caso não tivéssemos o fio, o valor da velocidade no centro do cilindro seria dado por:

v C M = 2 ⋅ g ⋅ h

v C M = 2 ⋅ 9,81 ⋅ 3,7602

v C M = 8,58 9   m / s

Passo 3

Item (c). Do ponto de vista da energia, o fio é simplesmente um meio de converter parte da energia potencial gravitacional (liberada quando o cilindro cai) em energia cinética de rotação, em vez de energia cinética de translação. Como nem toda a energia liberada vai para a translação, v C M é menor que 2 ⋅ g ⋅ h ., que é a velocidade que um objeto atinge ao cair de uma altura h sem qualquer fio preso.

Resposta

(A) Passo 1

(B) Passo 2

(C) Passo 3

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