Enunciado

Um fio uniforme de comprimento L e massa M está curvado em semicírculo. Calcule o módulo, direção e sentido da força gravitacional que o fio exerce sobre uma prticula de massa m situada no centro da curvatura do semicírculo.

Passo 1

E aí galera, vamos utilizar a equação

F g = G m 1 m 2 r 2

para calcular a força entre a massa do ponto e um pequeno segmento do semicírculo.

O raio do semicírculo é R = L π .

Passo 2

Vamos dividir o semicírculo em pequenos segmentos de comprimento R   d θ , como mostra a Figura a seguir:

d M = M L R   d θ = M π d θ

d F → é a força da gravidade em m exercida por d M

∫ d F y = 0 ; os componentes y da metade superior do semicírculo cancelam os componentes y da metade inferior.

Os componentes x estão todos na direção + x e todos são adicionados.

d F = G m d M R 2

d F x = G m d M R 2 cos ⁡ θ = G m π M / L 2 cos ⁡ θ d θ  

F x = ∫ - π / 2 π / 2 d F x = G m π M L 2 ∫ - π / 2 π / 2 cos ⁡ θ d θ = G m π M L 2 ( 2 )

F = 2 π G m M L 2

Passo 3

Se o semicírculo fosse substituído por uma massa pontual M em x   =   R , a força da gravidade seria G m M / R 2 = π 2 2 G m M / L 2 . Isso é π / 2 vezes maior que a força exercida pelo fio semicirclar. Para o semicírculo são os componentes x que são adicionados e a soma é menor do que se as magnitudes de força fossem adicionadas.

Resposta

F = 2 π G m M L 2

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