Enunciado

Na Fig. 13-39, uma partícula de massa m 1 = 0,67 k g está a uma distância de 23 cm de uma das extremidades de uma barra homogênea de comprimento L = 3,0 m e massa M = 5,0 k g . Qual é o módulo da força gravitacional que F que a barra exerce sobre a partícula?

Passo 1

A única dificuldade desse exercício é que ele é contínuo, e não discreto. Então a gente vai precisar usar integral pra somar a contribuição de todos os elementos d m de massa ao longo da barra. Mas é fácil do que parece. Olha só.

Vamos fixar o sistema de coordenada na extremidade esquerda da barra:

Passo 2

Assim, a contribuição gravitacional d F de um elemento d m localizado a uma distância x da extremidade vale

d F = G m 1 d m d + x 2

Certo? Beleza

Passo 3

Agora, ao invés da gente integrar a massa, vamos integrar a dimensão x. Pra isso, a gente precisa transformar d m em d x . Como estamos falando de uma barra homogênea, a relação entre massa e o comprimento é diretamente relacionada, então fica assim:

M L = d m d x

d m = M L d x

Pronto, agora é só substituir isso na equação 1 e integrar em x no domínio todo da barra.

Passo 4

A integral fica assim

F = ∫ d F = ∫ G m 1 d + x 2 M L d x

F = G m 1 M L ∫ 1 d + x 2 d x

Para resolver essa integral vamos substituir:

u = d + x

d u = d x

Logo a integral fica da seguinte forma:

∫ 1 d + x 2 d x =   ∫ 1 u 2 d u

∫ 1 d + x 2 d x = u - 2 + 1 - 2 + 1 =   - u - 1 =   - d + x - 1

Mas qual é o intervalo de integração? Bom é do começo da barra em x = 0 até x = L = 3,0 m :

F = G m 1 M L - 1 d + L + 1 d = G m 1 M L - d + d + L d L + d = G m 1 M L L d L + d

F = G m 1 M d L + d

Passo 5

Substituindo os valores que já conhecemos do problema:

  • m 1 = 0,67 k g
  • M = 5,0 k g
  • d = 23   . 10 - 2 m
  • L = 3,0 m
  • A constante gravitacional que é igual a G = 6,67.10 - 11 m 3 k g - 1 s - 2

F = G m 1 M d L + d

F = ( 6,67.10 - 11 m 3 k g - 1 s - 2 ) .   0,67 k g . 5,0 k g 23   . 10 - 2 m . 23   . 10 - 2 m + 3,0 m

F = 3,0 × 10 - 10 N

Resposta

F = 3,0 × 10 - 10 N

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