Enunciado

Uma fonte sonora fixa emite som de frequência ν 0 . O som é refeltido por um objeto que se aproxima da fonte com velocidade u . O eco refletido volta para a fonte, onde interfere com as ondas que estão sendo emitidas, dando origem a batimentos, com frequência Δ ν . Mostre que é possível determinar a magnitude u da velocidade do objeto móvel em função de Δ ν , ν 0 e da velocidade do som v .

O mesmo princípio é utilizado (com ondas eletromagnéticas em lugar de ondas sonoras) na detecção do excesso de velocidade nas estradas, com auxílio do radar.

Passo 1

A frequência dos batimentos vai te dizer qual é a diferença entre a frequência f 0 que você emitiu e a frequência f que você ouve no final:

Δ f = f 0 - f

Primeiro, temos que calcular a frequência f ' que o objeto “ouve” e reflete de volta para você:

f ' = f 0 v s ± v o b s v s ± v f o n t e

Durante a aproximação, o observador está em movimento com velocidade u e a fonte está parada:

f ' = f 0 v s ± u v s

Para que f ' > f 0 , o sinal no numerador deve ser positivo:

f ' = f 0 v s + u v s

Passo 2

Ok, então o objeto vai refletir uma frequência f ' na sua direção. Agora vamos calcular a frequência f que você ouve a partir desse eco.

f = f ' v s ± v o b s v s ± v f o n t e

Dessa vez o observador (você) está parado e a fonte (o objeto) está se movendo com velocidade u :

f = f ' v s v s + u

Para que f > f ' (afinal, ainda estamos falando de uma aproximação), o sinal do numerador deve ser negativo:

f = f ' v s v s - u

Agora vamos substituir f ' pela fórmula que encontramos lá em cima:

f = f 0 v s + u v s v s v s - u

f = f 0 v s + u v s - u

Passo 3

Além disso, nós sabemos que f - f 0 = Δ f , então:

f = f 0 + Δ f

f 0 v s + u v s - u = f 0 + Δ f

Dividindo os dois lados por f 0 :

v s + u v s - u = 1 + Δ f f 0

v s + u = 1 + Δ f f 0 v s - u

Agora é só isolar u :

2 u = Δ f f 0 v s - u

u = Δ f f 0 v s 2 + Δ f f 0

u = Δ f f 0 2 + Δ f f 0 v s

Pronto!

Resposta

Podemos calcular a velocidade do objeto utilizando a seguinte fórmula: u = Δ f f 0 2 + Δ f f 0 v s .

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