Enunciado

Complete a teoria do efeito Doppler para movimento numa direção qualquer calculando a frequência ν percebida por um observador quando a fonte, de frequência ν o , está em repouso na atmosfera e o observador se move ao longo de uma direção P 0 P com velocidade de magnitude u . No instante considerado, a direção P F que liga o observador à fonte (figura) faz um ângulo θ com a direção do movimento. Verifique se recai nos resultados obtidos no texto para θ = 0 e θ = π .

Passo 1

A coisa mais importante quando pensamos no efeito Doppler: a velocidade de aproximação ou afastamento entre a fonte e o observador.

Quando mudamos a direção de aproximação por um ângulo θ , só o que precisamos fazer é calcular como isso afeta o módulo da velocidade de aproximação ou afastamento.

Passo 2

Vamos começar desenhando e calculando o caso em que θ = 0 (que é o caso tradicional):

A fórmula geral para o efeito Doppler é:

ν = ν o v s ± v o b s v s ± v f

Nesse caso temos v f = 0 e v o b s = u :

ν = ν 0 v s ± u v s

E como estamos falando de uma aproximação, precisamos ter f > f 0 , então o sinal no numerador tem que ser positivo:

ν = ν 0 v s + u v s

Passo 3

Agora vamos ver o que acontece quando a trajetória da fonte é desviada por um ângulo θ :

A única diferença é que a velocidade de aproximação vai mudar. Temos que projetar o vetor u → na direção P F - .

v o b s = u cos ⁡ θ

Então:

ν = ν 0 v s + u cos ⁡ θ v s

E quando θ = 0 nós voltamos ao caso inicial.

Quando θ = π , a fonte está atrás do observador, e portanto ocorre afastamento:

ν = ν 0 v s + u cos ⁡ π v s = v 0 v s - u v s

Ou seja, o sinal do numerador se torna negativo, exatamente como deveria ser.

Resposta

A frequência percebida será dada por ν = ν 0 v s + u cos ⁡ θ v s . O caso θ = 0 corresponde à aproximação no modelo tradicional do efeito Doppler em uma única dimensão, e o caso θ = π corresponde ao afastamento.

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