Enunciado

Uma ambulância, em velocidade constante e com sua sirene sempre ligada, passa ao lado de um observador parado. A tonalidade da sirene percebida pelo observador varia de um semitom da escala cromática entre quando ela está se aproximando, vindo de longe, e quando se afasta, já distante. A velocidade do som no ar é de 340   m / s . Calcule a velocidade da ambulância (em k m / h ).

Passo 1

O enunciado diz que a tonalidade varia por um semitom da escala cromática. Isso quer dizer que as frequências se relacionam por:

f ' = 2 1 12 f

f ' = 1,0595   f

Onde f ' é a frequência durante a aproximação e f é a frequência durante o afastamento.

Vamos lembrar da fórmula para a frequência observada quando ocorre efeito Doppler:

f ' = f 0 v s ± v o b s v s ± v f

O observador está parado, então temos v o b s = 0 :

f ' = f 0 v s v s ± v f

A velocidade da fonte é simplesmente a velocidade v a m b da ambulância. Durante a aproximação, precisamos ter:

f ' > f 0

Então o sinal no denominador deve ser negativo, e podemos substituir f ' = 1,0595   f 0 :

f ' = f 0 v s v s - v a m b

Passo 2

Durante o afastamento, a única diferença é o sinal no denominador:

f = f 0 v s v s + v a m b

Já que f > f 0 . Podemos juntar todas essas equações em um sistema:

f ' = 1,0595   f f ' = f 0 v s v s - v a m b f = f 0 v s v s + v a m b

Vamos substituir as duas últimas equações na primeira:

f 0 v s v s - v a m b = 1,0595 f 0 v s v s + v a m b

Dividindo ambos os lados por f 0 v s :

1 v s - v a m b = 1,0595 1 v s + v a m b

v s + v a m b v s - v a m b = 1,0595

Passo 3

Agora vamos resolver isso para encontrar v a m b :

v s + v a m b = 1,0595 v s - v a m b

2 v a m b = v s 1,0595 - 1

v a m b = 0,0595 v s 2

E como a velocidade do som é v s = 340   m / s :

v a m b = 0,0595 340 2 = 10,11   m / s

Então:

v a m b ≅ 36,4   k m / h

Resposta

A velocidade da ambulância é de 36,4   k m / h .

.

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