Enunciado

Uma força atuando sobre uma partícula do plano xy, nas coordenadas (x, y), é dada por F → = F 0 r y i ^ - x j ^ onde F 0 é uma constante positiva e r é a distância dapartícula à origem. (a) Mostre que a magnitude desta força é F 0 e que sua orientação é perpendicular a r → = x i ^ + y j ^ . (b) Encontre o trabalho realizado pela força sobre a partícula, quando esta completa uma volta em um círculo de 5,0 m de raio centrado na origem.

Passo 1

Letra (a)

Temos um errinho de tradução ali no enunciado tá? O r deve estar no denominador e não multiplicado por F 0 . Agora vamos começar!

Nosso vetor é:

F → = F 0 r y i ^ - x j ^

F → = F 0 r y   i ^ - F 0 r x   j ^

A componente x dele é o termo multiplicado por i ^ :

F x = F 0 r y  

E a componente y é o termo multiplicado por j ^ :

F y = - F 0 r x  

Para achar a magnitude do vetor força como ele pede, a gente tira o módulo do vetor:

F = F x 2 + F y 2

Substituindo F x e F y :

F = F 0 r y 2 + - F 0 r x 2

F = F 0 2 r 2 y 2 + F 0 2 r 2 x 2

F = F 0 r x 2 + y 2

Passo 2

Só que r é a distância de um ponto qualquer x , y até a origem. Olha nessa figura:

Usando Pitagoras, podemos escrever essa distância como r = x 2 + y 2 . Substituindo isso no módulo de F :

F = F 0 r x 2 + y 2

F = F 0 r ∙ r

F = F 0

Passo 3

Para mostrar que dois vetores são perpendiculares o que a gente pode fazer? Cara, a gente pode provar que o produto escalar entre eles é nulo!

Então para mostrar que a força F → = F 0 r y i ^ - x j ^ é perpendicular à direção r → = x i ^ + y j ^ a gente faz o produto escalar entre eles

F → ∙ r → = F 0 r y i ^ - x j ^ ∙ x i ^ + y j ^

A gente pode deixar F 0 / r em evidência mesmo. Aí faz o produto entre os coeficientes de i ^ e soma ao produto dos coeficientes de j ^ :

F → ∙ r → = F 0 r x y - x y = F 0 r 0

F → ∙ r → = 0 ⇒ F → ⊥ r →

Conseguimos!

Passo 4

Letra (b)

Para saber o trabalho, a gente tem que saber se o sentido é horário ou anti-horário. Um resultado vai ser o outro multiplicado por -1. Vamos fazer no sentido anti-horário primeiro.

Como a força depende de x e y , a gente vai usar o formato de integral para calcular o trabalho:

W = ∫ l 1 l 2 F → ⋅ d l →

Mas antes de substituir, como o caminho da partícula é circular, a gente vai descrever ele usando coordenadas polares, colocando x e y em função do raio r do círculo (que é a distância de todos os pontos dele a origem e vale r = 5   m ) e θ :

Substituindo x = r c o s θ e y = r s e n θ na força:

F → = F 0 r y i ^ - x j ^

F → = F 0 r r s e n θ i ^ - r c o s θ j ^

Passo 5

Aquele l → é o vetor posição de um ponto P = x , y que pertence ao círculo. A gente vai escrever esse vetor posição assim:

l → = x , y

Que é o mesmo que

l → = x i ^ + y j ^

Substituindo as coordenadas polares nele também:

l → = r c o s θ i ^ + r s e n θ j ^

Mas a integral usa d l → , então a gente precisa derivar esse carinha em relação a θ , derivando cada componente dele, assim:

d l → d θ = - r s e n θ i ^ + r c o s θ j ^

Isolando quem a gente quer:

d l → = - r s e n θ i ^ + r c o s θ j ^ d θ

Passo 6

Vamos montar a integral. Tínhamos:

W = ∫ l 1 l 2 F → ⋅ d l →

Substituindo o que a gente achou e calculando esse produto escalar:

W = ∫ l 1 l 2 F 0 r r s e n θ i ^ - r c o s θ j ^ ∙ - r s e n θ i ^ + r c o s θ j ^ d θ

W = F 0 r ∫ l 1 l 2 - r 2 s e n 2 θ - r 2 cos 2 ⁡ θ d θ

Percebe que r é o raio do círculo, então ele é constante. Podemos tirá-lo da integral. E percebe que nossa variável da integral é θ . Como temos o círculo completo, nosso ângulo dá a volta completa, ou seja,

0 ≤ θ ≤ 2 π

A integral fica:

W = F 0 r ∫ 0 2 π - r 2 s e n 2 θ - r 2 cos 2 ⁡ θ d θ

W = F 0 r - r 2 ∫ 0 2 π s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ d θ

Aquele termo em parênteses é parte da identidade trigonométrica s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1 , assim:

W = - F 0 r ∫ 0 2 π d θ

W = - 2 π F 0 r

Passo 7

Substituindo o valor de r :

W = ( - 10 π   m ) F 0

Se fosse no sentido horário:

W = ( 10 π   m ) F 0

Resposta

Letra (a): ver solução

Letra (b): W = ( 10 π   m ) F 0 ou W = ( - 10 π   m ) F 0

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