Enunciado

Uma partícula de massa m se move, a partir do repouso em t = 0, sob a influência de uma força constante única F → . Mostre que a potência desenvolvida pela força, em qualquer tempo, é P = F 2 t / m .

Passo 1

Olá, querido! Então, temos a seguinte situação: uma partícula sai do repouso e se move por causa de uma força constante F → .

Se a força é constante e a partícula sai do repouso, a gente pode imaginar que o movimento da partícula teve sempre a mesma direção e sentido, certo?

Só para ter um referencial, vamos dizer então que a força está na direção de x , e que a velocidade da partícula, já que ela se move por causa da força, também vai estar na direção x , com o mesmo sentido da força:

Aí a gente escreve o vetor força F → assim com i ^ para demonstrar que ela tem módulo F e está no sentido x positivo. O mesmo acontece para v → .

Mas para que isso tudo? Cara, porque ele pede a potência desenvolvida pela força. A gente tem que a potência desenvolvida é dada pela fórmulinha:

P = F → ⋅ v →

Ou seja, é um produto escalar entre força e velocidade. Como os dois vetores só tem componente x no nosso caso, o produto escalar vai ser apenas esse produto entre os módulos dos vetores:

P = F v

A ideia é a gente partir disso e chegar na expressão que ele deu. Bora!

Passo 2

Precisamos da expressão de v , o módulo da velocidade da partícula.

Como a partícula sai do repouso e começa a se mover por causa de uma força constante, a gente vê que há em ação uma aceleração a causada sobre a partícula pela força F → .

Ou seja, o movimento da partícula é um movimento de aceleração constante. A velocidade em função do tempo para esse tipo de movimento é dado pela fórmulinha da cinemática:

v = v 0 + a t

Mas a velocidade inicial da partícula é v 0 = 0 porque ela sai do repouso, então:

v = a t

Jogando isso na expressão da potência:

P = F v

P = F a t

P = F a t

Passo 3

Mas a gente não tem a também né? A gente pode achar uma expressão para ela pela segunda lei de Newton no eixo x :

∑ F x = m a x

Temos que a aceleração nesse sentido é a , a massa da partícula é m mesmo e a única força sobre a partícula nessa direção é F . Substituindo

F = m a

Isolando o a :

a = F m

E jogando isso na potência de novo:

P = F a t

P = F F m t

P = F 2 t m

Provamos o que ele pediu!

Resposta

Ver solução

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma partícula de 4,00k g se move ao longo do eixo x . Sua posição varia no tempo, de acordo com x=t+2,0 t 3 , em que x está em metros e t em segundos. Encontre (a) a energia cinética da partícula em q
Uma máquina empurra uma quantidade crescente de neve na sua frente à medida que percorre um estacionamento. Suponha que um carro que se move pelo ar seja modelado como um cilindro de área A, empurrand
Pedalando uma bicicleta num exercício aeróbico, uma mulher quer que sua frequência cardíaca fique entre 136 e 166 batimentos por minuto. Suponha que essa frequência seja diretamente proporcional à sua
Um automóvel sobe à velocidade de 80 km/h uma ladeira com inclinação de 10%, ou seja, para cada 100 m deslocados o carro sobe 10 m. Sendo 1 500 kg a massa do automóvel, calcule o aumento de potência d
Um elevador, com sua carga, tem massa de 700 kg. Calcule a potência realizada pelos cabos sobre o elevador quando ele sobe à velocidade de 3,0 m/s.