Enunciado

Uma força horizontal constante F → a empurra um pacote dos correios de 2,00   k g sobre um piso sem atrito onde um sistema de coordenadas   x y foi desenhado. A Fig. 5-37 mostra as componentes x e y da velocidade do pacote em função do tempo t . Quais são (a) o módulo e (b) a orientação de F → a ? Ver Fig. 5-37, adiante.

Passo 1

Para iniciar a resolução deste problema precisamos ter em mente que a força resultante F r → que age sobre um corpo é a soma de todas as forças que atuam no mesmo e está relacionada à aceleração a → pela definição da segunda lei de Newton:

F r → = ∑ n = 0 N F i → = m a →

Lembrando que podemos aplicar a segunda lei de Newton separadamente para cada componente, assim:

F r x = m a x

F r y = m a y

E o ângulo medido em relação ao semieixo x positivo é dado por:

θ = tan - 1 ⁡ F y F x

Sem esquecer que para calcular o módulo de um vetor, usamos a seguinte equação:

F r = F r x 2 + F r y 2

Além disso, para resolver esta questão precisamos lembrar que para um movimento com aceleração constante, a aceleração média é igual a aceleração instantânea e, por isso:

a x = a m x = ∆ v x ∆ t

a y = a m y = ∆ v y ∆ t

O problema, além de nos informar a massa do corpo ( m = 2,00   k g ), nos dá dois gráficos de velocidade em função do tempo, um referente ao eixo x e outro ao eixo y . A partir deles, determinaremos o módulo da força resultante e também a orientação da mesma.

Passo 2

Vamos iniciar essa questão calculando a componente x da aceleração usando a equação da aceleração média com os dados extraídos do gráfico.

Considerando os pontos ( 0 ; 2 ) e ( 3 ; 11 ) :

a x = ∆ v x ∆ t = 11 - 2 3 - 0 = 3   m / s 2

Prosseguindo, de maneira análoga, para a componente y da aceleração. Para este, consideraremos os pontos ( 0 ; 2 ) e ( 1 ; - 3 ) :

a y = ∆ v y ∆ t = - 3 - + 2 1 - 0 = - 5   m / s 2

Passo 3

Com os valores das componentes da aceleração já calculados, vamos partir para aplicação direta da segunda lei de Newton para cada eixo, vamos lá? Foca aqui que já está terminando

A segunda lei de Newton para o eixo x :

F r x = m a x = 2 × 3 = 6   N

Para o eixo y :

F r y = m a y = 2 × - 5 = - 10   N

Passo 4

Para determinar o módulo do vetor F r → usaremos a equação dada no passo inicial:

F r = F r x 2 + F r y 2 = 6 2 + - 10 2 = 136 = 11,66   N

Passo 5

Por fim, usaremos a equação também enunciada no passo inicial para determinar o ângulo que o vetor da força resultante faz com o semieixo x positivo:

θ F = tan - 1 ⁡ F r y F r x = tan - 1 ⁡ - 10 6 = 120,96 °   o u - 59,04 °

Devemos tomar cuidado quando utilizando a função tan - 1 ⁡ x na calculadora, pois dois ângulos θ e θ + 180 ° possuem o valor. Assim, precisamos determinar em qual quadrante o nosso vetor está a partir da análise do sinal das componentes.

Como nosso vetor F → possui a componente x positiva e a componente y negativa, então este só pode estar no quarto quadrante, pois é o único cujo o seno é negativo e cosseno é positivo, portanto:

θ F = - 59,04 °

Resposta

  1. F r = 11,66   N ;
  2. θ F = - 59,04 ° .
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