Enunciado

Um explorador polar foi surpreendido por urna nevasca, que reduziu a visibilidade a praticamente zero, quando retornava ao acampamento. Para chegar ao acampamento, deveria ter caminhado 5,6   k m para o norte, mas, quando o tempo melhorou, percebeu que na realidade havia caminhado 7,8   k m em uma direção 50 ° ao norte do leste. (a) Que distância e (b) em que sentido deve caminhar para voltar à base?

Passo 1

Para resolver este tipo de problema é preciso lembrar que para somar dois vetores podemos obter as componentes escalares dos vetores e, em seguida, combiná-las, eixo por eixo, com isso obtemos as componentes do vetor soma e escrevendo as componentes usando a notação de vetores unitários podemos escrever o vetor resultante da soma. Logo:

r → = a → + b → = a x + b x i ^ + a y + b y j ^

Para isso, precisamos lembrar que, dado o módulo do vetor ( ‖ r → ‖ ) e o ângulo que este faz com o semieixo x positivo ( θ ), podemos escrever suas componentes da seguinte maneira:

r x = r cos ⁡ θ

r y = r s e n ⁡ θ

Beleza?!

Não menos importante, devemos nos lembrar que o módulo de um vetor r → é dado por:

r = r x 2 + r y 2 + r z 2

E o ângulo medido em relação ao semieixo x positivo é dado por:

θ = tan - 1 ⁡ r y r x

Neste problema nós conhecemos o módulo de dois vetores ( ‖ O A → ‖ = 5,6   km e ‖ O A → ‖ = 7,8   km ) e dois sentidos ( A está a norte do ponto de partida e B a 50 ° ao norte do leste também do ponto de partida) e precisamos determinar a distância que o explorador deve caminhar para chegar ao ponto A (acampamento) e o sentido deste deslocamento.

Para facilitar a interpretação, vamos fazer uma ilustração com auxílio do plano cartesiano e já representaremos o vetor que desejamos determinar, beleza?

Portanto, para determinar a distância que o explorador deve caminhar para chegar no acapamento devemos fazer a soma vetorial da distância que ele deveria percorrer e da distância que ele percorreu.

Passo 2

Para determinar as componentes escalares do vetor O A → utilizaremos as equações explicitas acima, porém, é preciso perceber, através da ilustração que foi considerado neste problema o semieixo y positivo partindo da origem no sentido norte, por isso o ângulo que o vetor O A → faz com o semieixo x positivo é θ O A = 90 ° , assim:

O A x = 5,1 cos ⁡ 90 ° = 0

O A y = 5,1 s e n ⁡ 90 ° = 5,1   km

Para determinar as componentes escalares do vetor O B → faremos de maneira análoga:

O B x = 7,4 cos ⁡ 50 ° = 4,8   km

O B y = 7,4 s e n ⁡ 50 ° = 5,7   km

Passo 3

Reescrevendo a soma vetorial dada no enunciado:

c → = O A → + O B →

Agora, somamos as componentes eixo por eixo:

c x = O A x + O B x = 0 + 4,8 = 4,8   km

c y = O A y + O B y = 5,1 + 5,7 = 10,8   km

Portanto, podemos fazer a combinação dessas componentes de c → para escrever o vetor em termos dos vetores unitários:

c → = c x i ^ + c y j ^ = 4,8 i ^ + 10,8 j ^

Passo 4

Para encontrar a distância que o explorador deve percorrer devemos calcular o módulo do vetor c → usando a equação explicitada no passo 1 :

c = c x 2 + c y 2

c = 4,8 2 + 10,8 2

c = 11,8   km

Passo 5

Para determinar o ângulo que o vetor c → faz com o semieixo x positivo também usaremos a equação explicitada no passo 1 :

θ c = tan - 1 ⁡ c y c x

θ = tan - 1 ⁡ 10,8 4,8

θ = 66,0 °   ou   246,0 °

Devemos tomar cuidado quando utilizando a função tan - 1 ⁡ x na calculadora, pois dois ângulos θ e θ + 180 ° possuem o valor. Assim, precisamos determinar em qual quadrante o nosso vetor está a partir da análise do sinal das componentes.

Como nosso vetor c → possui a componente x e a componente y positivas, então este só pode estar no primeiro quadrante, pois é o único cujo o seno e cosseno são positivos, portanto:

θ c = 66,0 °

Resposta

  1. 11,8   km ;
  2. 66 °   ao norte do leste .
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