Enunciado

Supernova! (a) A Equação 16.30 pode ser escrita como

f R = f s 1 - v c 1 / 2 1 + v c 1 / 2

onde e é a velocidade da luz no vácuo, 3,00 X 108 m/s. A maioria dos objetos se move muito mais lentamente que isso (vlc é muito pequeno), de modo que os cálculos usando a Equação 16.30 deverão ser feitos cuidadosamente, para evitar erros de arredondamento. Use o teorema binomial para mostrar que, se v

Passo 1

Fala galera, bora lá!

(a) O teorema binomial nos diz que é possível realizar a seguinte aproximação para pequenos valores de x:

1 ± x a   ~   1 ± a x

Então podemos realizar as seguintes aproximações:

1 - v c 1 / 2 ~ 1 - v 2 c

1 + v c - 1 / 2 ~ 1 - v 2 c

Passo 2

Com isso, obtemos:

1 - v c 1 / 2 1 + v c - 1 / 2 ~ 1 - v 2 c 2

~ 1 - v c + v 2 4 c 2

Mas o terceiro termo é muito maior que o segundo, então podemos ignorá-lo, finalmente obtendo:

1 - v c 1 / 2 1 + v c - 1 / 2 ~ 1 - v c

Passo 3

Finalmente, podemos então escrever a frequência que o observador vê por:

f R = f s 1 - v c

Passo 4

(b) Como a cor característica do brilho da Nebulosa é vermelha que nem o gás de hidrogênio, podemos considerar então que a frequência de emissão da mesma será f s = 4 , 568 × 10 11   H z , mas a frequência observada pelo telescópio vale f R = 4,586 × 10 14   H z , então podemos utilizar que:

1 - v c = f R f s

v c = 1 - f R f s

v = 1 - f R f s c

Então, substituindo os valores encontrados e considerando que a velocidade da luz vale c = 3,0 × 10 8   m / s , obtemos:

v = - 1,2 × 10 6   m / s

Passo 5

(c) Considerando que no instante da explosão, o diâmetro da Supernova era desconsiderável, então podemos considerar que o diâmetro atual vale:

2 r = 2 v t

Levando em conta que um ano tem aproximadamente 3,0 × 10 7   s , então, considerando que o ano atual é 2017, o percurso realizado durou 963 anos. Então, diâmetro da Nebulosa será, aproximadamente:

2 r = 2 1,2 × 10 6 3,0 × 10 7 963

2 r = 6,934 × 10 1 6   m

Passo 6

Como um ano-luz vale 9,461 × 10 15 s, então nesta unidade de medida o diâmetro vale:

2 r = 7,329   a n o s - l u z

Passo 7

(d) Para grandes distâncias, o diâmetro angular pode ser aproximado por

δ = d 2 D

Onde d é o diâmetro do objeto observado e D é a distância do observador para o objeto. O resultado encontrado é dado em radianos, então, para realizar a conversão para graus, devemos multiplicar o resultado por 180 e dividir por π .

Passo 8

Como o diâmetro angular da Nebulosa observado na Terra vale 5 minutos, encontramos que a distância da Nebulosa vale:

D = d 2 δ = d 2 π 180 5 60 360  

D = 12 d π

D = 28   a n o s - l u z

Resposta

  1. É possível aproximar a frequência do observador por f R = f s 1 - v c
  2. A velocidade em que a Nebulosa está se movendo em relação à terra vale v = - 1,2 × 10 6   m / s
  3. O diâmetro desta Nebulosa vale 6,934 × 10 16   m = 7,329   a n o s - l u z
  4. Portanto, a distância da Nebulosa para a Terra vale D = 28   a n o s - l u z , o que indica que a explosão ocorreu 28 anos antes do observado neste planeta.

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