Enunciado

As funções cosh ⁡ ( x ) (co-seno hiperbólico) e senh ⁡ ( x ) (seno hiperbólico) são definidas por: cosh ⁡ x = 1 2 e x + e - x e senh ⁡ x = 1 2 e x - e - x . Mostre que:

(a) cos ⁡ i x = cosh ⁡ x ; sen ⁡ i x = i senh ⁡ x . Mostre que:

(b) cosh 2 ⁡ x - senh 2 ⁡ x = 1 ;

(c) senh ⁡ 2 x = 2 senh ⁡ x cosh ⁡ x .

Passo 1

(a) Vamos lembrar da definição do cos ⁡ x usando a fórmula de Euler:

cos ⁡ x = e i x + e - i x 2

Então o cosseno de i x é:

cos ⁡ i x = e i ( i x ) + e - i i x 2

Lembrando que i 2 = - 1 :

cos ⁡ i x = e - x + e x 2

Que é exatamente a definição do cosh ⁡ x que foi dada no enunciado, então:

cos ⁡ i x = cosh ⁡ x

E agora vamos fazer o mesmo para o seno:

sen ⁡ x = e i x - e - i x 2 i

sen ⁡ i x = e i i x - e - i i x 2 i = e - x - e x 2 i

Vamos multiplicar essa última fração por i / i :

sen ⁡ i x = i i e - x - e x 2 i = - i e - x - e x 2

sen ⁡ i x = i e x - e - x 2 = i senh ⁡ x

Passo 2

(b) Agora queremos mostrar que:

cosh 2 ⁡ x - senh 2 ⁡ x = 1

Vamos usar as fórmulas que foram dadas no enunciado:

cosh 2 ⁡ x = 1 2 e x + e - x 2 = 1 4 e 2 x + 2 e - x e x + e - 2 x

senh 2 ⁡ x = 1 2 e x - e - x 2 = 1 4 e 2 x - 2 e - x e x + e - 2 x

Mas e - x e x = e 0 = 1 , então:

cosh 2 ⁡ x = 1 4 e 2 x + 2 + e - 2 x

senh 2 ⁡ x = 1 4 e 2 x - 2 + e - 2 x

Agora vamos somar os dois:

cosh 2 ⁡ x - senh 2 ⁡ x = 1 4 e 2 x + 2 + e - 2 x - 1 4 e 2 x - 2 + e - 2 x

cosh 2 ⁡ x + senh 2 ⁡ x = 1 4 e 2 x + 2 + e - 2 x - e 2 x + 2 - e - 2 x

cosh 2 ⁡ x - senh 2 ⁡ x = 1

Passo 3

(c) Agora vamos ver o que acontece quando pegamos o seno hiperbólico de 2 x :

senh ⁡ 2 x = 1 2 e 2 x - e - 2 x

Podemos reescrever isso da seguinte forma:

senh ⁡ 2 x = 1 2 e x 2 - e - x 2

Agora vamos lembrar da seguinte propriedade:

a 2 - b 2 = a - b a + b

Então:

senh ⁡ 2 x = 1 2 e x - e - x e x + e - x

Agora lembre dessas duas fórmulas aqui:

cosh ⁡ x = 1 2 e x + e - x senh ⁡ x = 1 2 e x - e - x

Então:

senh ⁡ 2 x = 2 cosh ⁡ x senh ⁡ x

Resposta

(a) Demonstração.

(b) Demonstração.

(c) Demonstração.

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