Enunciado

Um gafanhoto salta para o ar da beirada de um rochedo vertical, como mostra a Figura P 3.57 . Determine (a) a velocidade inicial do gafanhoto e (b) a altura do rochedo.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar (a) a velocidade inicial do gafanhoto e (b) a altura do rochedo do qual o gafanhoto salta, segundo a figura abaixo:

A partir da figura, podemos ler a altura máxima e distância máxima horizontal alcançada pelo gafanhoto. Sabendo que sua aceleração é a y = g para baixo, podemos encontrar sua velocidade inicial e a altura do rochedo (as variáveis ​​alvo).

Vamos considerar as coordenadas com a origem no solo e + y para cima, a x = 0 , a y = - 9 , 80   m / s 2 . Assim, vamos usar a equação de Torricelli para determinar a velocidade inicial v 0 y :

v y 2 = v 0 y 2 + 2 a y y - y 0  

E as equações cinemáticas abaixo, para determinar o tempo de queda t e a altura do rochedo y - y 0 :

x - x 0 = v 0 x t + 1 2 a x t 2

y - y 0 = v 0 y t + 1 2 a y t 2

Vamos lá!

Passo 2

a) A componente vertical da velocidade é zero no ponto mais alto da trajetória. Então, temos v y = 0  quando  y - y 0 = 0 , 0674   m . Assim, usando a equação de Torricelli:

v y 2 = v 0 2 y + 2 a y y - y 0

Isolando a velocidade inicial v 0 y :

v 0 y = - 2 a y y - y 0

E substituindo os dados do enunciado, temos:

v 0 y = - 2 - 9,8   m / s 2 0 , 0674   m

v 0 y = 1,15   m / s

Mas essa é a componente vertical da velocidade inicial v 0 , que é dada por:

v 0 y = v 0 sin ⁡ α 0

Onde α 0 é o ângulo de lançamento. Assim, isolando v 0 na equação e substituindo os valores dados, vamos ter:

v 0 = v 0 y sin ⁡ α 0

v 0 = 1,15   m / s s e n ⁡ ( 50 , 0 ∘ )

v 0 = 1,50   m / s

Passo 3

b) Agora vamos determinar a altura do rochedo, mas antes precisamos encontrar o tempo de queda do gafanhoto, que é igual ao tempo de subida. Pra isso, vamos usar a equação horária da posição no eixo horizontal x :

x - x 0 = v 0 x t + 1 2 a x t 2

Nossa distância horizontal é x - x 0 = 1 , 06   m , a aceleração horizontal é nula ( a x = 0 ) e a componente horizontal da velocidade inicial v 0 x é dada por:

v 0 x = v 0 cos ⁡ ( 50 ° )

v 0 x = 0,964   m / s

Então, isolando t na equação da posição e substituindo os valores calculados, temos:

t = x - x 0 v 0 cos ⁡ ( 50 ° )

t = 1 , 10   s

Passo 4

Agora sim, vamos descobrir a altura do rochedo. No eixo vertical, temos:

y - y 0 = v 0 y t + 1 2 a y t 2

Onde ( y - y 0 ) é a altura que queremos encontrar, v 0 y é a velocidade inicial na direção vertical e t é o tempo calculado no passo anterior. Assim, substituindo os valores na equação, vamos ter:

y - y 0 = ( 1 , 15   m / s ) ( 1 , 10 s ) + 1 2 - 9,8 m s 2 ( 1 , 10 s ) 2

y - y 0 = - 466   m

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

  1. 1,50   m / s
  2. - 466   m
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