Enunciado

Um gás ideal de coeficiente adiabático γ é submetido ao ciclo A B C A da figura, onde A B é um segmento de reta. (a) Calcule o rendimento. (b) Mostre que ele é menor do que o rendimento de um ciclo de Carnot operando entre as mesmas temperaturas extremas.

Passo 1

Vamos começar calculando o trabalho realizado no trecho A B . Para isso vamos calcular a área abaixo da curva, usando a fórmula para a área do trapézio:

W A B = 1 2 2 P 0 + P 0 2 V 0 - V 0 = 1 2 3 P 0 V 0 = 3 2 P 0 V 0

No processo B C , que é isovolumétrico, o trabalho é nulo:

Δ V B C = 0         ⇒           W B C = 0

E o processo C A é um processo isobárico, então a fórmula para o trabalho é:

W C A = P 0 V 0 - 2 V 0 = - P 0 V 0

Então o trabalho total ao longo do ciclo é:

W = W A B + W B C + W C A

W = 3 2 P 0 V 0 + 0 - P 0 V 0 = 1 2 P 0 V 0

Passo 2

Agora queremos calcular o calor fornecido para o gás. O gás só absorve calor no trecho A B , em que sua temperatura está aumentando.

Vamos começar calculando qual é a relação entre as temperaturas nesses dois pontos:

P A V A T A = P B V B T B

T B = P B V B P A V A T A = 2 P 0 2 V 0 P 0 V 0 T A

T B = 4 T A

E para calcular a variação de energia interna, precisamos determinar C v , usando o fator γ que foi dado no enunciado:

γ = 1 + R C v         ⇒         C v = R γ - 1

Agora podemos usar a fórmula para a variação de energia interna:

Δ U A B = n C v Δ T A B

Δ U A B = n R γ - 1 4 T 0 - T 0 = 3 n R T 0 1 γ - 1

E pela lei dos gases ideais, podemos escrever que P 0 V 0 = n R T 0 :

Δ U A B = 3 P 0 V 0 1 γ - 1

Agora, pela primeira lei da termodinâmica:

Q A B = W A B + Δ U A B

Q A B = 3 2 P 0 V 0 + 3 P 0 V 0 1 γ - 1

Q A B = 3 P 0 V 0 1 2 + 1 γ - 1

Passo 3

Agora podemos calcular a eficiência nesse ciclo:

η = W Q = 1 2 P 0 V 0 3 P 0 V 0 1 2 + 1 γ - 1

η = 1 6 1 2 + 1 γ - 1

Vamos reescrever o termo em parênteses:

1 2 + 1 γ - 1 = γ - 1 + 2 2 γ - 1 = 1 2 γ + 1 γ - 1

Então:

η = 1 6 1 2 γ + 1 γ - 1 = 1 3 γ - 1 γ + 1

Passo 4

(b) Agora vamos calcular qual seria o rendimento de um ciclo de Carnot operando entre dois reservatórios com as mesmas temperaturas extremas:

η = 1 - T 2 T 1

No nosso caso, as temperaturas extremas estão em T 2 = T A e T 1 = T B :

η = 1 - T A T B = 1 - 1 4 = 3 4

η = 75 %

Mas isso ainda não prova que o rendimento de Carnot é maior do que o calculado lá em cima.

Vamos ver em qual condição isso seria descumprido:

1 3 γ - 1 γ + 1 ≥ 3 4

γ - 1 γ + 1 ≥ 9 4

γ - 1 ≥ 9 4 γ + 9 4

γ - 9 4 γ ≥ 9 4 + 1

- 5 4 γ > 13 4

γ < - 13 5

Ou seja, γ teria que ser negativo, o que não é possível. Então o rendimento de Carnot é sempre maior do que o rendimento que nós calculamos.

Resposta

(a) η = 1 3 γ - 1 γ + 1 .

(b) η = 75   % .

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