Enunciado

Para um gás ideal em equilíbrio térmico, calcule o valor médio da magnitude de um componente de velocidade de uma molécula (numa direção qualquer). Compare-o com ⟨ v ⟩ .

Passo 1

A fórmula que você deve estar acostumado a usar pra distribuição de Maxwell é essa aqui:

f v = 4 π v 2 m 2 π k T 3 / 2 exp ⁡ - m v 2 2 k T  

Mas isso te dá a probabilidade de encontrar uma velocidade de módulo v , mesmo que seja uma velocidade em duas ou três dimensões.

Quando uma partícula só se move em uma dimensão x , a fórmula fica um pouco mais simples:

f v x = m 2 π k T 1 / 2 exp ⁡ - m v x 2 2 k T  

E pra encontrar a velocidade média nessa distribuição aí, temos que usar a seguinte fórmula:

v x = ∫ 0 ∞ f v x v x d v x

Passo 2

Beleza, agora vamos para a parte matemática: temos que resolver a integral.

v x = ∫ 0 ∞ f v x v x d v x

O primeiro passo é substituir a fórmula:

v x = ∫ 0 ∞ m 2 π k T 1 / 2 exp ⁡ - m v x 2 2 k T v x d v x

E tirar as constantes:

v x = m 2 π k T 1 / 2 ∫ 0 ∞ v x exp ⁡ - m v x 2 2 k T d v x

A fórmula pra resolver essa integrar é essa aqui:

∫ x e - a x 2 d x = - 1 2 a e - a x 2

Então:

v x = m 2 π k T 1 / 2 - 1 2 m 2 k T exp ⁡ - m v x 2 2 k T ∞ 0

v x = m 2 π k T 1 / 2 - k T m exp ⁡ - m v x 2 2 k T ∞ 0

Quando v x tende ao infinito, aquela exponencial tende a zero, e quanto v x tende a 0 , a exponencial tende a 1 , então:

v x = m 2 π k T 1 2 0 - - k T m

v x = m 2 π k T 1 2 k T m = k T 2 π m

Aqui nós integramos só entre os valores positivos de v (fomos de 0 a ). Mas como o enunciado pediu a média da magnitude (módulo), temos que considerar os negativos também.

Pra levar isso em conta, é só multiplicar nosso resultado por dois:

v x = 2 k T 2 π m = 2 k T π m

Passo 3

E por último, o enunciado pede pra comparar esse último resultado com v .

A fórmula desse v é a seguinte:

v = 8 k T π m

Vamos ver como fica a razão entre v e o nosso resultado:

v x v = 2 k T π m 8 k T π m

v x v = 2 8 = 1 2

Ou seja:

v x = 1 2 v

Resposta

O valor médio da magnitude de um componente da velocidade é v x = 2 k T π m = 1 2 v .

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