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(a) Um gás ideal, inicialmente à pressão p 0 , sofre uma expansão livre até que o volume seja 3,00 vezes maior que o volume inicial. Qual é a razão entre a nova pressão e p 0 ? (b) Em seguida, o gás sofre uma lenta compressão adiabática até o volume inicial. A pressão após a compressão é 3,00 1 / 3 p 0 . O gás é monoatômico, diatômico ou poliatômico? (c) Qual é a razão entre a energia cinética média por molécula no estado final e no estado inicial?

Passo 1

(a) Se a expansão é livre mesmo, quer dizer que o gás não está realizando trabalho e nem sofrendo trabalho externo, e também não existem trocas de calor entre o gás e algum outro corpo.

Bom, então, pela primeira lei da termodinâmica:

Δ E i n t = Q - W = 0

E quando a variação de energia interna é nula, nós sabemos o que isso quer dizer: a temperatura é constante.

Então, pela lei dos gases ideais:

p 0 V 0 T i = p f V f T f

E aí podemos cortar as temperaturas:

p 0 V 0 = p f ( 3 V i )

p f p o = 1 3 ≅ 0,33

E essa é a resposta da letra (a).

Passo 2

(b) Agora estamos falando de uma compressão adiabática, então:

p i V i γ = p f V f γ

O enunciado já deu o valor da pressão final:

P i V i γ = 3,00 1 3 ( p o ) V f γ

E nós acabamos de ver que esse p 0 é 3 vezes a pressão final do processo anterior, que é também a pressão inicial DESSE processo. Ou seja:

p i = 1 3 p o

1 3 p O V i γ = 3,00 1 3 ( p o ) V f γ

1 3 V i γ = 3,00 1 3 V f γ

E o volume volta a ser o que era lá atrás, ou seja: ele começa com sendo o triplo de um volume V o , e termina sendo V 0 novamente:

V i = 3 V 0

V f = V o

1 3 3 V 0 γ = 3,00 1 3 V 0 γ

3 γ 3 = 3,00 1 / 3

3 γ = 3 4 / 3

Ou seja:

γ = 4 3

E, como sabemos, isso quer dizer que o gás é poliatômico.

Passo 3

(c) Bom, vamos ver a energia cinética média por molécula:

K m é d = 3 2 k T N

Interessante, só depende da temperatura, então vamos fazer a razão entre a final e a inicial:

K m é d , f K m é d , i = 3 2 k T f N 3 2 k T i N = T f T i

Mas também não temos a temperatura. Vamos precisar da lei dos gases ideais:

p V = n R T

T = p V n R

E então:

T f T i = p f V f p i V i

Como no final das contas o volume volta a ser o que era no início:

T f T i = p f p i = 3,00 1 3 p o p o = 1,4422

E a razão entre as energias vai ser:

K m é d , f K m é d , i ≅ 1,44

Resposta

(a) A razão entre as pressões é 0,33 .

(b) O gás é poliatômico.

(c) A razão entre as energia é 1,44 .

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