Enunciado

Um gás ideal, inicialmente a 20°C e a 200 kPa, tem um volume de 4,0L. Ele sofre uma expansão isotérmica quase estática até que sua pressão seja reduzida para 100 kPa. Determine:

  1. O trabalho realizado pelo gás;
  2. O calor absorvido pelo gás durante a expansão.

Passo 1

Bom, na letra a queremos achar o trabalho realizado pelo gás. É bem importante lembramos aqui que o trabalho pode ser obtido através da área abaixo de um gráfico PV, formado pela trajetória do gás indo de 1 até 2.

Sabemos que o gás se expande de V 1 = 4   L até V 2 , que não foi fornecido, com a consequente redução da pressão de P 1 = 200   k P a   até P 2 = 1 00   k P a ,   à temperatura constante.

Talvez essa informação pode passar batida por vocês, mas ela vai influenciar no formato do nosso caminho e na área abaixo do gráfico, ok?

Desenhando o diagrama:

Como a área abaixo desse gráfico é o trabalho, temos:

W p e l o   g á s = ∫ V 1 V 2 P . d V

Para o gás nós podemos lembrar da seguinte relação:

P V = n R T

Isolando P:

P = n R T V

Substituindo na integral:

W p e l o   g á s = ∫ V 1 V 2 n R T V . d V = n R T ∫ V 1 V 2 d V V

Resolvendo a integral:

W p e l o   g á s = n R T . ln ⁡ V 2 V 1 = n R T . ln ⁡ V 2 V 1

Para o primeiro passo:

W p e l o   g á s = n R T . ln ⁡ V 2 V 1

Chegamos em um empasse! Não sabemos nRT, mas sabemos que é uma constante e pela relação mostrada anteriormente:

P V = n R T

Agora sim! Pressão e volume nós temos, mas qual usar? Do ponto 1 ou 2?

Não importa! Isso mesmo, você pode estar achando estranho, mas o fato de sua multiplicação produzir uma constante válida para os dois pontos podemos escolher qualquer um, mas vou optar pelo ponto 1 já que não sabemos o volume final:

W p e l o   g á s = P 1 V 1 . ln ⁡ V 2 V 1

Agora já conseguimos calcular o trabalho? A resposta é não! Não sabemos qual é o volume final, então vamos relacioná-lo com algo que sabemos:

P 1 V 1 = P 2 V 2

V 2 = P 1 V 1 P 2

No trabalho:

W p e l o   g á s = P 1 V 1 . ln ⁡ P 1 V 1 P 2 V 1 = P 1 V 1 . ln ⁡ P 1 P 2

Agora sim, sabemos todas as variáveis. Bora substituir?

Mas calma, nosso volume está em litros, então vamos transformá-lo em m³:

W p e l o   g á s = ( 200000   P a ) ( 4 x 10 - 3   m ³ ) . ln ⁡ 200   k P a 1 00   k P a

W p e l o   g á s = 555   J

Finalizamos a letra a e agora podemos passar para b.

Passo 2

Para determinar o calor absorvido precisamos lembrar do enunciado da primeira lei:

∆ E i n t = Q e n t r a + W s o b r e   o   g á s

Aqui entra um conceito bem importante, nós temos na fórmula o trabalho realizado sobre o gás, mas só sabemos o valor do trabalho que o gás realiza.

E como eles se relacionam? Fácil !

W s o b r e   o   g á s = - W p e l o   g á s

Substituindo:

∆ E i n t = Q e n t r a - W p e l o   g á s

Isolando o calor:

Q e n t r a = ∆ E i n t + W p e l o   g á s

Já sabemos o trabalho, mas não temos informação sobre a energia interna. Podíamos ficar perdidos aqui, se não soubéssemos que no caso de expansões isotérmicas todo o calor adicionado é transformado em trabalho.

O que isso nos diz?

∆ E i n t = 0

Agora sim!

Q e n t r a = W p e l o   g á s = 555   J

Resposta

  1. W p e l o   g á s = 555     J ;
  2. Q e n t r a = 555     J .
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