Enunciado

Um gás ideal monoatômico tem inicialmente uma temperatura de 330   K e uma pressão de 6,00   a t m . O gás se expande de um volume de 500   c m 3 para um volume de 1500   c m 3 . Determine (a) a pressão final e (b) o trabalho realizado pelo gás se a expansão é isotérmica. Determine (c) a pressão final e (d) o trabalho realizado pelo gás se a expansão é adiabática.

Passo 1

Belezoca pessoal, considerando que a transformação é isotérmica, a lei dos gases ideais já resolve a letra (a) sem problemas.

p i V i T i = p f V f T f

Cortando as temperaturas e substituindo os valores:

p i V i = p f V f

6,00 500 = p f ( 1500 )

Logo:

p f = 1 3 6,00

p f = 2,00   atm

Passo 2

(b) O trabalho realizado por um gás na expansão isotérmica tem uma fórmula bem simples:

W = n R T . ln ⁡ V f V i

Como não sabemos o valor de n , vamos substituir logo esse n R T usando a lei dos gases ideais:

p i V i = n R T i

W = p i V i ; ln ⁡ V f V i

p i = 6,00   atm = 6,06 × 10 5   Pa

V i = 500   c m 3 = 500 × 10 - 6   m 3

E então:

W = 6,06 × 10 5 500 × 10 - 6 × ln ⁡ 1500 500

W = 332,87   J

W ≅ 333   J

Passo 3

(c) Agora queremos a pressão final no caso em que o processo é adiabático. Sem problemas, vamos precisar dessa fórmula aqui:

p i V i λ = p f V f λ

Que vale para qualquer transformação adiabática de um gás:

6,00 500 λ = p f 1500 λ

p f = 1 3 λ ( 6,00 )

Logo:

p f = 3 - 5 3 6,00

p f = 0,961   atm

Passo 4

(d) E agora o trabalho realizado pelo gás fica assim:

W = ∫ V i V f p   d V

O problema pra resolver a integral é o seguinte: achar uma expressão que dê a pressão em função do volume do gás!

p i V i γ = p V γ

Isolando a pressão:

p = p i V i γ V γ

p = p i V i γ V - γ

Beleza, agora a integral fica assim:

W = ∫ V i V f p i V i γ V - γ   d V

Tirando as constantes de dentro da integral:

W = p i V i γ ∫ V i V f V - γ   d V

W = p i V i γ . V f 1 - γ - V i 1 - γ ( 1 - γ )  

W = p i . V f 1 - γ V i λ - V i ( 1 - γ )  

Substituindo com a seguinte relação no primeiro termo do numerador:

p f V f λ = p i V i λ

W = p f V f λ V f 1 - γ - p i V i 1 - γ

W = p f V f - p i V i ( 1 - γ )

Agora chegamos em uma fórmula útil:

W = p f V f - p i V i ( 1 - γ )

W = 0,971 × 10 5 1,5 × 10 - 3 - 6,06 × 10 5 5 × 10 - 4 1 - 5 3

W = 236  J

Resposta

(a) p f = 2,00   atm .

(b) W = 333   J .

(c) p f = 0,961   atm .

(d) W = 236   J .

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