Enunciado

Um gás ideal, a uma temperatura inicial T 1 e com um volume inicial de 2,0   m 3 , sofre uma expansão adiabática para um volume de 4,0   m 3 , depois uma expansão isotérmica para um volume de 10   m 3 e, finalmente, uma compressão adiabática de volta para T 1 . Qual é o volume final?

Passo 1

A questão fala de processos isotérmicos e adiabáticos. Vamos lembrar das fórmulas mais importantes em cada um desses casos.

No processo isotérmico, a lei dos gases ideais dá:

p i V i T i = p f V f T f ⇒ p i V i = p f V f

E no processo adiabático:

p i V i γ = p f V f γ

Então tá, vamos ver como se comportam essas grandezas entre um processo e outro.

Passo 2

Primeiro, o gás vai do estado 1 para o estado 2 por uma expansão adiabática:

p 1 V 1 γ = p 2 V 2 γ

Depois, vai do estado 2 para o estado 3 por uma expansão isotérmica:

p 2 V 2 = p 3 V 3

E depois vai do estado 3 para o estado 4 por uma compressão adiabática:

p 3 V 3 γ = p 4 V 4 γ

Além disso, como o enunciado disse que T 1 = T 4 :

p 1 V 1 T 1 = p 4 V 4 T 4 ⇒ p 1 V 1 = p 4 V 4

Beleza, vamos ver se dá pra tirar alguma coisa dessa confusão. Nosso objetivo final é achar V 4 .

Passo 3

Já que os volumes aparecem com expoente às vezes, vamos isolar as pressões naquelas três primeiras equações:

p 4 = p 3 V 3 V 4 γ

p 3 = p 2 V 2 V 3

p 2 = p 1 V 1 V 2 γ

Ótimo, agora dá pra substituir uma na outra pra achar o seguinte:

p 4 = p 1 V 1 V 2 γ V 2 V 3 V 3 V 4 γ

Agora a gente pode substituir isso na última equação ali de cima.

p 1 V 1 = p 4 V 4

p 1 V 1 = p 1 V 1 V 2 γ V 2 V 3 V 3 V 4 γ V 4

V 1 = V 1 V 2 γ V 2 V 3 V 3 V 4 γ V 4

Agora cuidado, a álgebra pode ser meio confusa. Abrindo esses expoentes aí:

V 1 = V 1 γ V 2 1 - γ V 3 - 1 + γ V 4 1 - γ

Dividindo tudo por V 1 γ :

V 1 1 - γ = V 2 1 - γ V 3 - 1 + γ V 4 1 - γ

E agora dividindo tudo por V 3 - 1 + γ :

V 1 1 - γ V 3 1 - γ = V 2 1 - γ V 4 1 - γ

Agora a gente pode elevar tudo a 1 1 - γ :

V 1 V 3 = V 2 V 4

E então:

V 4 = V 1 V 3 V 2 = 2,0 10 4,0 = 5,0   m 3

Pronto, conseguimos!

Resposta

O volume final é 5,0   m 3 .

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