Enunciado

Um anel de cobre de 20 g a 0 ° C tem diametro interno D = 2,54 c m . Uma esfera de aluminio a 100 ° C tem um diametro d = 2,54508   c m . A esfera é colocada acima do anel até que os dois atinjam o equilíbrio térmico, sem perda de calor para o ambiente. A esfera se ajusta exatamente ao anel na temperatura de equilíbrio. Qual é a massa da esfera?

Passo 1

Fala galerinha do RespondeAí, tudo jóia?

Saca só, nesse exercício aqui o enunciado nos diz que um anel de cobre de 20   g a 0 ° C tem diâmetro interno D = 2,54   cm , ele continua dizendo que uma esfera de alumínio a 100 ° C tem um diâmetro d = 2,54508   cm . E sabendo que a esfera é colocada acima do anel até que os dois atinjam o equilíbrio térmico, de modo que a esfera se ajusta exatamente ao anel, sem perda de calor para o ambiente, o enunciado nos pergunta qual é a massa da esfera!

Uma malandragem pra gente começar o problema, é que a variação de temperatura em Celsius é igual à variação em Kelvin, logo, não precisaremos nos preocupar com isso nesse problema, pois as fórmulas que vamos usar só precisam da variação da temperatura, ok?

Lembra como varia o tamanho de um material em função do seu coeficiente linear de dilatação térmica α ? Varia assim:

L = L 0 ( 1 + α Δ T )

Sendo L 0 o seu comprimento inicial e Δ T a variação de temperatura envolvida.

Substituindo o diâmetro do anel nessa relação, a gente obtém essa equação aqui:

D a = D 0 , a ( 1 + α a ( T f - 0 ° ) )

Para a esfera, temos:

d e = d 0 , e ( 1 + α e ( T f - 100 ° ) )

Como, ao final, o anel e a esfera se ajustam, o tamanho final do diâmetro dele é igual:

D a = d e

E, então, podemos igualar as duas equações dos diâmetros finais:

D 0 , a 1 + α a T f - 0 ° = d 0 , e 1 + α e T f - 100 °

Vamos arrumar um pouquinho, nosso intuito é isolar o T f :

D 0 , a 1 + α a T f = d 0 , e 1 + α e T f - 100 α e

D 0 , a + D 0 , a α a T f = d 0 , e + d 0 , e α e T f - 100 d 0 , e α e

Vamos jogar tudo que tem T f para um lado e o resto para o outro:

D 0 , a α a T f - d 0 , e α e T f = d 0 , e - 100 d 0 , e α e - D 0 , a

Colocando T f em evidência:

T f D 0 , a α a - d 0 , e α e = d 0 , e - 100 d 0 , e α e - D 0 , a

Com isso:

T f = d 0 , e - 100 d 0 , e α e - D 0 , a D 0 , a α a - d 0 , e α e

Vamos passar os diâmetros para metros ok? É só multiplicar o valor original por 10 - 2 . Além disso, vamos pegar os valores dos coeficientes de dilatação na tabela 18-2 do livro.

Substituindo aí os dados do enunciado, vem:

T f = 2,54508 ∙ 10 - 2 - 100 2,54508 ∙ 10 - 2 23 ∙ 10 - 6 - 2,54 ∙ 10 - 2 2,54 ∙ 10 - 2 17 ∙ 10 - 6 - 2,54508 ∙ 10 - 2 23 ∙ 10 - 6

Fazendo essa conta monstro:

T f ≅ 50,38 ° C

Passo 2

Mas a questão nos pede a massa da esfera! Pra gente conseguir calculá-la, vamos precisar usar a relação entre os calores trocados durante o processo, que será dado por:

Q = m c ∆ T

A quantidade de calor da esfera é:

Q e = c e m e T f - 100 ° C

E a quantidade do anel:

Q a = c a m a T f - 0 ° C

Como o anel e a esfera entraram em equilíbrio térmico, temos que Q a + Q e = 0 . Então, a gente tem que:

c a m a T f - 0 ° C + c e m e T f - 100 ° C = 0

Arrumando:

c a m a T f + c e m e T f - 100 ° C = 0

Queremos o m e , então vamos isolá-lo:

c a m a T f = - c e m e T f - 100

Esse sinal negativo pode mudar a subtração ali dentro do parênteses:

c a m a T f = c e m e 100 - T f

Isolando m e :

m e = c a m a T f c e 100 - T f

Substituindo os valores que temos (pegando os calores específicos na tabela 18-3):

m e = ( 0,0923 ) 20 ( 50,38 ) ( 0,215 ) 100 - 50,38

m e ≅ 8,72   g

Ou, fazendo a conversão para quilos:

m e ≅ 8,72 × 10 - 3 k g

Resposta

8,72 × 10 - 3 k g

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