Enunciado

Considere um balde cilíndrico com água, em rotação com velocidade angular ω em torno de um eixo vertical, após atingida a situação de equilíbrio, em que a água esta girando juntamente com o balde [Seç. 13.7 (c)]. Para obter a forma da superfície de equilíbrio da água, utilize o fato de que um fluido em equilíbrio não pode suportar forças tangenciais a sua superfície, de modo que, no referencial do balde, as forças atuantes na superfície tem de ser normais a ela. Prove que a superfície é um paraboloide de revolução, achando sua equação num sistema de coordenadas com origem no ponto em que a superfície corta o eixo de rotação O z .

Passo 1

Mudando para o referencial do “agua”, trocamos a resultante centrípeta apontando para o centro por uma força de mesmo módulo apotando para fora, assim ó:

Como agora nosso sistema já está em equilíbrio, temos:

∑ F → = 0

No eixo t , temos o seguinte:

F c t f c o s θ - P s e n θ = 0

Portanto,

t g θ = F c t f P

Como | F c t f g → | = m ω 2 x e P = m g :

t g θ = ω 2 x g

Mas tangente é a derivada da curva naquele, lembra?

d y d x = ω 2 x g

Passo 2

Jogando o d x para direita, temos:

d y = ω 2 x g d x

Integrando:

y ( x ) = ω 2 g ⋅ x 2 2 + C

Para achar o valor da constante, podemos usar que y 0 = 0 . Assim,

C = 0

Então,

y ( x ) = ω 2 2 g x 2

O que representa a equação de uma parábola.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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