Enunciado

Uma gotícula de água começa a formar-se e vai-se avolumando na atmosfera em torno de um núcleo de condensação, que é uma partícula de poeira, de raio desprezível. A gota cai através da atmosfera, que supomos saturada de vapor de água, e vai aumentando de volume continuamente pela condensação, que faz crescer a massa proporcionalmente à superfície da gota. A taxa λ de crescimento da massa por unidade de tempo e de superfície da gota é constante. a) Mostre que o raio r da gota cresce linearmente com o tempo. b) Mostre que a aceleração da gota, decorrido um tempo t   desde o instante em que ela começou a se formar é dada por

d v d t = - g - 3 v t

Onde v é a velocidade da gota no instante t ( desprezando o efeito da resistência do ar. c) Mostre que esta equação pode ser resolvida tomando v = a t , e determine a constante a. Que tipo de movimento resulta para a gota?

Passo 1

  1. Pra começar um problema assim vamos tentar chegar numa relação da massa com
  2. área que envolva r também

    m = ρ V

    ( a q u i   ρ   é   a   d e n s i d a d e   d e   m a s s a   p o r   v o l u m e   d a   g o t a ,   e n t ã o   t e m o s   a   p r i m e i r a   r e l a ç ã o )

    m = ρ 4 3 π r 3

    Derivando os 2 lados usando a regra da cadeia,

    d m d t = ρ 4 π r 2 d r d t  

    Galera, aqui é interessante reconhecer que 4 π r 2 é a área da superfície da gota, logo

    d m d t = ρ A d r d t

    Derivando em relação à área

    d d A d m d t = ρ d r d t

    Como dito pelo enunciado a taxa de variação de massa por unidade de tempo por unidade de área é constante e igual a λ , por isso

    λ = ρ d r d t

    d r d t = λ ρ  

    Show, a taxa de variação do raio com o tempo é constante, logo sua função é linear no tempo!

    Passo 2

  3. O momento da gota desde o ínicio de sua formação é dado por
  4. P = m t v ( t )

    Portanto a força resultante é

    F r e s = d P d t

    = d d t m t . v t

    Pela regra do produto temos

    F r e s = d m d t v t + d v d t m t

    Já que a força resultante á força gravitacional fica assim nossa equação

    - m g = d m d t v t + d v d t m t

    d v d t = - m g - d m d t v t m

    =   - g - d m d t v t m

    =   - g - ρ 4 π r 2 d r d t v t m  

    Escrevendo a massa em função da densidade e volume chegamos a

    d v d t = - g - ρ 4 π r ( t ) 2 d r d t v t ρ 4 3 π r ( t ) 3      

    = - g - 3 r t d r d t v t                 ( 1 )

    Sabemos que r varia linearmente com o tempo de acordo com essa expressão, já que é linear

    r ( t ) = d r d t t  

    1 r d r d t = 1 t

    Substituindo na equação ( 1 ) temos

    d v d t =   - g - 3 v t

    Passo 3

  5. Se v = a t

d d t a t =   - g - 3 a t t

a =   - g - 3 a

4 a =   - g

a =   - g 4

Pelo fato da aceleração ser constante o movimento é uniformemente acelerado.

Resposta

a ) d r d t = λ ρ

c )   a =   - g 4   .   M U V

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