Enunciado

Uma hélice de avião possui massa de 117   k g e comprimento igual a 2,08   m (de uma extremidade à outra). A hélice está girando a 2400   r e v / m i n em relação a um eixo que passa pelo seu centro. a) Qual é sua energia cinética rotacional? Considere a hélice como uma barra delgada. b) Suponha que, devido a restrições de peso, você teve que reduzir a massa da hélice a 75,0 % da sua massa original, mas precisou manter o mesmo tamanho e a mesma energia cinética. Qual deveria ser sua velocidade escalar angular, em rpm?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar (a) a energia cinética rotacional da hélice que está girando a uma velocidade angular de 2400   r e v / m i n em relação a um eixo que passa pelo seu centro.

Nós sabemos que essa energia cinética pode ser calculada através da equação:

K = 1 2 I ω 2

Onde I é o momento de inércia e ω é a sua velocidade angular.

Para uma barra delgada, esse momento de inércia é dado por:

I = 1 12 M L 2

Onde M é a sua massa e L seu comprimento.

Depois, nós vamos supor que a massa da hélice foi reduzida em 75 % e calcular sua velocidade escalar angular, em r p m , para a mesma energia cinética encontrada no item anterior.

Vamos lá!

E, também sabemos que:

1 r p m = 0,1047 r a d / s

Passo 2

a) Vamos começar calculando o momento de inércia da hélice, usando a equação vista no passo anterior e substituindo os valores dados pelo enunciado. Assim, temos que:

I = 1 12 117 k g ⋅ 2,08 m 2

I = 42,2 k g ⋅ m 2

Agora convertendo a velocidade angular dada para r a d / s , sabendo que 1 r p m = 0,1047 r a d / s ,vamos ter:

ω = 2400 r e v min ⁡ 0,1047 r a d s 1 r e v / m i n

ω = 251 r a d / s  

E substituindo I e ω na equação da energia cinética K , vamos obter:

K = 1 2 I ω 2

K = 1 2 ⋅ 42,2 k g ⋅ m 2 ⋅ 251 r a d s 2

K = 1,33 × 10 6 J

Passo 3

b) Agora vamos considerar uma energia cinética K 1 para a primeira situação, dada por:

K 1 = 1 12 M 1 L 1 2 ω 1 2

E uma segunda energia cinética dada por:

K 2 = 1 2 M 2 L 2 2 ω 2 2

Só que o enunciado nos diz que elas precisam ser iguais, então:

K 1 = K 2

Além disso, temos os mesmos comprimentos:

L 1 = L 2

Então, igualando as equações da energia cinética e simplificando, vamos ter:

M 1 ω 1 2 = M 2 ω 2 2

Isolando a velocidade angular ω 2 :

ω 2 = �� 1 M 1 M 2

E considerando que a massa M 2 é 75 % da massa M 1 , temos:

ω 2 = 2400 r p m M 1 0,750 M 1

ω 2 = 2770 r p m

Portanto, a energia cinética rotacional é proporcional ao quadrado da velocidade angular e diretamente proporcional à massa do objeto.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

  1. 1,33 × 10 6 J
  2. 2770 r p m
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