Enunciado

O hélio líquido é armazenado em seu ponto de ebulição (4,2 K) em uma lata esférica que é separada por uma região evacuada do espaço de um escudo circundante que é mantido à temperatura do nitrogênio líquido (77 K). Se a lata tiver 30 cm de diâmetro e estiver enegrecida por fora, de modo a atuar como emissor de corpo negro, quanto hélio se evapora por hora?

Passo 1

Bom, a questão nos pede uma taxa, precisaremos então utilizar a derivada em relação ao tempo da quantidade de hélio. Para expressarmos isso, vamos utilizar uma das equações de calor. Como o hélio está no ponto de ebulição, vamos usar o calor latente do hélio:

Q = m L

Diferenciando a equação em relação ao tempo:

d Q d t = d m L d t

Como a massa de hélio que está evaporando que varia conforme o tempo passa, e L é constante:

d Q d t = L d m d t

Passo 2

E pela equação da potência, podemos buscar uma relação entre o processo de ebulição e a radiação da lata esférica:

P = d Q d t

Para o processo de ebulição, ficamos com:

P = L d m d t

Passo 3

Pela Lei de Stefan-Boltzmann, a radiação da lata esférica pode ser escrita assim:

P = e σ A ( T 4 - T 0 4 )

Como o enunciado nos diz que a lata atua como um corpo negro, então e = 1 , e como também nos dá o diâmetro da lata, podemos encontrar a área de sua superfície pela equação:

A = π d 2

Substituindo na equação:

P = σ π d 2 ( T 4 - T 0 4 )

Além disso, vamos escrever a equação de tal maneira que possamos desprezar o termo T 0 por ser muito menor que T :

P = σ π d 2 T 4 1 - T 0 T 4

e

T 0 T 4 ≈ 0

Ficamos com:

P ≈ σ π d 2 T 4

Passo 4

Por fim, a gente substitui a equação que expressa a potencia irradiada pela esfera na equação do hélio em ebulição:

L d m d t ≈ σ π d 2 T 4

Isolamos o termo de taxa de hélio que evapora:

d m d t ≈ σ π d 2 T 4 L

Substituindo os valores de cada grandeza:

d m d t ≈ 5.6703 × 10 - 8 W m 2 . K 4 π 30   c m 2 77 4 21 k J k g = 2.68 × 10 - 5 k g s

Como o enunciado pede a taxa por hora, vamos converter o resultado:

d m d t ≈ 2.68 × 10 - 5 k g s × 3600 s h = 97 g / h

Resposta

d m d t = 97 g / h

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