Enunciado

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desse livro

O índice de refração de um meio inomogêneo, em função da altitude z , é dado por n = n 0 + n ' z , onde n 0 e n ' são constantes. Um raio luminoso no plano ( x z ) parte da origem numa direção de cosenos diretores α 0 ,   β 0 . Obtenha a equação da trajetória desse raio.

Passo 1

Antes de começarmos, uma rápida correção do enunciado. A expressão que devia estar escrita é

n = n 0 - n '   z

A equação dos raios de luz é

d d s n d r → d s = ∇ n

Portanto, escrevendo cada componente de r → parametrizada em termos de s (distância percorrida pelo raio):

r → s = x s   x ^ + z s   z ^

Como tudo está acontecendo no plano x z , podemos esquecer completamente da coordenada y !

Temos que para a componente x :

d d s n d x d s = ∂ n ∂ x

Mas como n = n 0 - n ' z , temos que

∂ n ∂ x = 0

Assim,

d d s n d x d s = 0 ⇒ n d x d s = c o n s t a n t e

Podemos achar essa constante aplicando a relação em s = 0 :

n d x d s = n d x d s s = 0

Mas em s = 0 , temos que x = z = 0 :

n = n 0         e         d x d s = α 0

Note que a condição inicial sobre d x / d s é o cosseno diretor α 0 . Com isso,

n d x d s = n 0 α 0 ⇒ d x d s = n 0 α 0 n 0 - n ' z

Vamos deixar essa relação guardada!

Passo 2

Sabemos que d s respeita a relação

d s 2 = d x 2 + d z 2

Assim,

d z d s 2 = 1 - d x d s 2

Usando a relação encontrando no passo 1:

d z d s 2 = 1 - n 0 α 0 n 0 - n ' z 2

Logo,

d z d s 2 = n 0 2 - n 0 2 α 0 2 - 2 n 0 n ' z + n ' 2 z 2 n 0 - n ' z 2

Usando que a soma dos quadrados dos cossenos diretores deve ser 1 :

1 - α 0 2 = β 0 2

Assim,

d z d s = n 0 2 β 0 2 - 2 n 0 n ' z + n ' 2 z 2 n 0 - n ' z

Passo 3

Agora vamos eliminar o parâmetro s :

d z d x = d z / d s d x / d s = n 0 2 β 0 2 - 2 n 0 n ' z + n ' 2 z 2 n 0 α 0

Podemos colocar o n 0 do denominador dentro da raiz, de modo que

d z d x = 1 α 0 ⋅ β 0 2 - 2 n ' n 0 z + n ' n 0 2 z 2

Por uma questão de simplicidade, vamos escrever

k = n ' n 0

Assim,

d z d x = 1 α 0 β 0 2 - 2 k z + k 2 z 2

Com isso, caímos da equação diferencial

d x α 0 = d z β 0 2 - 2 k z + k 2 z 2

Portanto,

x = α 0 ∫ d z β 0 2 - 2 k z + k 2 z 2 + A

Passo 4

Resolver essa integral não é tarefa fácil. Primeiro vamos brincar um pouco com a expressão dentro da raiz:

β 0 2 - 2 k z + k 2 z 2 = β 0 2 + ( k 2 z 2 - 2 k z + 1 - 1 )

Logo,

β 0 2 - 2 k z - k 2 z 2 = β 0 2 - 1 + k z - 1 2

Assim

x = α 0 ∫ d z β 0 2 - 1 + k z - 1 2 + A

Vamos fazer a mudança de variável

u = k z - 1 ⇒ d u = k   d x ⇒ d z = d u k

Portanto,

x = α 0 k ∫ d u β 0 2 - 1 + u 2 + A = α 0 k ∫ d u u 2 - ( 1 - β 0 2 )

Pra resolver essa integral, aconselho a dar uma olhada numa tabela de integrais:

∫ d u u 2 - a 2 = ln ⁡ u + u 2 - a 2

No nosso caso, temos que a 2 = 1 - β 0 2 . Assim

x = α 0 k ln ⁡ u + u 2 - ( 1 - β 0 2 ) + A

Lembrando que u = k z - 1 :

x = α 0 k ln ⁡ k z - 1 + β 0 2 - 2 k z + k 2 z 2 + A

Para achar a constante A , lembramos que a condição inicial é x = z = 0 :

0 = α 0 k ln ⁡ β 0 - 1 + A

Logo,

A = - α 0 k ln ⁡ 1 - β 0

Portanto,

x = α 0 k ln ⁡ k z - 1 + β 0 2 - 2 k z - k 2 z 2 - α 0 k ln ⁡ 1 - β 0

Ou ainda,

x = α 0 k ln ⁡ - 1 + k z + β 0 2 - 2 k z + k 2 z 2 1 - β 0

Passo 5

Essa resposta que encontramos já está de ótimo tamanho, mas vamos brincar mais um pouquinho para chegar na mesma resposta do livro...

Lembre-se que

k = n ' n 0

Assim,

x = α 0 n 0 n ' ln ⁡ - 1 + n ' n 0 z + β 0 2 - 2 n ' n 0 z + n ' n 0 2 z 2 1 - β 0

Ou ainda,

x = α 0 n 0 n ' ln ⁡ - n 0 + n ' z + n 0 2 β 0 2 - 2 n 0 n ' z + n ' 2 z 2 n 0 1 - β 0

Por fim, lembre-se que

n 0 2 β 0 2 - 2 n 0 n ' z + n ' 2 z 2 = n 0 2 - n 0 2 α 0 2 - 2 n 0 n ' z + n ' 2 z 2 = n 0 - n ' z 2 - n 0 α 0 2

Logo,

x = α 0 n 0 n ' ln ⁡ n ' z - n 0 + n 0 - n ' z 2 - n 0 α 0 2 n 0 1 - β 0

Resposta

x = α 0 n 0 n ' ln ⁡ n ' z - n 0 + n 0 - n ' z 2 - n 0 α 0 2 n 0 1 - β 0

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